【PY100】MATHS 數學篇 – (1) 指數定律與科學記數法 Laws of Indices & Scientific Notation

MATHS 數學篇第一篇，我哋由指數講起。原因好簡單：因式分解、二次方程、指數函數、對數，去到中六都仲係靠呢幾條定律。好多同學中五做錯嘅代數題，追返落去其實係中二嘅指數未搞清楚。所以呢篇唔係溫書前嘅熱身，而係成個數學篇嘅地基。

先講清楚個記號。$a^n$ 即係 $n$ 個 $a$ 乘埋一齊，例如 $2^3 = 2\times 2\times 2 = 8$。要留意，指數淨係管住佢貼住嗰個底：$-3^2$ 係 $-(3\times 3) = -9$，但 $(-3)^2$ 就係 $(-3)\times(-3) = 9$。計數機同考卷都係咁讀，所以見到負號，就要睇清楚有冇括號。

冪（Power）：$a^n$ 代表 $n$ 個 $a$ 相乘，讀做「$a$ 嘅 $n$ 次方」。1. $a$ 叫做底（Base）。2. $n$ 叫做指數（Index），講明個底要乘幾多次。

五條指數定律係點嚟

指數定律唔使死記，數一數有幾多個底就推到出嚟。$a^3\times a^2$ 即係 $(a\times a\times a)\times(a\times a)$，總共 5 個 $a$，所以等於 $a^5$——指數 3 加 2。$(a^3)^2$ 係 $a^3\times a^3$，兩組、每組三個 $a$，即係 $a^6$——指數 3 乘 2。其餘三條都係咁數出嚟，唔記得嗰陣自己數一次就得。

指數定律（Laws of indices）：當 $a\neq 0$、$b\neq 0$，而 $m$、$n$ 係整數：1. $a^m\times a^n = a^{m+n}$，同底相乘，指數相加。2. $a^m\div a^n = a^{m-n}$，同底相除，指數相減。3. $(a^m)^n = a^{mn}$，冪再乘方，指數相乘。4. $(ab)^n = a^nb^n$，積嘅乘方，每個因子都要乘。5. $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$，商嘅乘方，分子分母都要乘。

最常見嘅錯有三個。第一，相乘嗰陣連指數都乘埋：$a^3\times a^2$ 係 $a^5$，唔係 $a^6$。第二，括號外面嘅指數漏咗個數字：$(2x^3)^2 = 4x^6$，唔係 $2x^6$，因為個 2 都喺括號入面。第三，底唔同都硬將指數加埋：$2^3\times 3^2$ 冇得用第一條定律合併，要逐個計，等於 $8\times 9 = 72$。

零指數同負指數係咩意思

用第二條定律，$a^3\div a^3 = a^{3-3} = a^0$。但一個唔係 0 嘅數除自己，一定係 1，所以 $a^0$ 只可以等於 1。同樣，$a^2\div a^5 = a^{2-5} = a^{-3}$；直接約簡就係 $\frac{a\times a}{a\times a\times a\times a\times a} = \frac{1}{a^3}$。兩個答案要一樣，所以 $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$。零指數同負指數唔係新規則，而係令五條定律喺指數係 0 或者負數嗰陣都繼續啱。

零指數同負整數指數（Zero and negative integral indices）：當 $a\neq 0$：1. $a^0 = 1$。2. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$。負指數唔係話個數變咗負數，而係話佢要搬去分母（或者由分母搬上嚟）。

呢度有兩個陷阱。$2^{-3}$ 係 $\frac{1}{8}$，係一個正數，唔係 $-8$。另外，負指數都係淨係管佢貼住嗰個底：$3a^{-2} = \frac{3}{a^2}$，個 3 留喺分子；要係 $(3a)^{-2}$，先至等於 $\frac{1}{9a^2}$。題目叫你「以正指數表示答案」，就係睇你呢步搬唔搬得啱。

例題一：簡化，再以正指數表示

DSE 卷一開頭好常見呢類題目：簡化 $\frac{(2a^3b^{-1})^2}{4a^{-2}b^3}$，答案要用正指數表示。我哋一步一步嚟：

1. 先拆括號。括號外面嘅 2 次方要分俾入面每一個因子，連個 2 都要：$(2a^3b^{-1})^2 = 2^2a^{3\times 2}b^{-1\times 2} = 4a^6b^{-2}$
2. 數字同數字除：$\frac{4}{4} = 1$
3. $a$ 同底相除，指數相減。呢步最多人錯——減一個負數即係加：$a^{6-(-2)} = a^{8}$
4. $b$ 都係咁處理：$b^{-2-3} = b^{-5}$
5. 最後將負指數搬去分母：$a^8b^{-5} = \frac{a^8}{b^5}$

答案係 $\frac{a^8}{b^5}$。想驗算，可以代 $a = 1$、$b = 2$ 入去：原式係 $\frac{(2\times 1\times 2^{-1})^2}{4\times 1^{-2}\times 2^3} = \frac{1}{32}$，答案係 $\frac{1^8}{2^5} = \frac{1}{32}$，兩邊一樣，咁就放心。

科學記數法：好大同好細嘅數點樣寫

指數最實際嘅用途，就係寫一啲大到或者細到數唔晒個零嘅數。光速大約係每秒 $300\,000\,000$ 米，一粒細菌大約長 $0.000\,002$ 米——咁寫好易數錯位。用 10 嘅冪嚟寫，就變成 $3\times 10^8$ 同 $2\times 10^{-6}$，一眼就睇到有幾大。

科學記數法（Scientific notation）：將一個正數寫成 $a\times 10^n$ 嘅形式，當中 $1\le a<10$，$n$ 係整數。1. 個數大過或者等於 10，$n$ 係正數。2. 個數大過或者等於 1 但細過 10，$n = 0$。3. 個數細過 1，$n$ 係負數。

轉換嘅時候，數吓小數點郁咗幾多個位就得：向左郁幾多個位，指數就係正幾多；向右郁幾多個位，指數就係負幾多。

• $5\,030\,000 = 5.03\times 10^6$：小數點向左郁咗 6 個位。
• $0.000\,407 = 4.07\times 10^{-4}$：小數點向右郁咗 4 個位。

例題二：科學記數法嘅乘法

計 $(3.2\times 10^5)\times(4\times 10^{-8})$，答案用科學記數法表示。

1. 將數字部分同 10 嘅冪分開，各自相乘：$(3.2\times 4)\times(10^5\times 10^{-8})$
2. 數字部分：$3.2\times 4 = 12.8$
3. 同底相乘，指數相加：$10^{5+(-8)} = 10^{-3}$
4. $12.8\times 10^{-3}$ 仲未係科學記數法，因為 12.8 大過 10。將佢寫成 $1.28\times 10^1$，再用多一次第一條定律：$1.28\times 10^1\times 10^{-3} = 1.28\times 10^{-2}$

答案係 $1.28\times 10^{-2}$。好多人去到 $12.8\times 10^{-3}$ 就停——個數值冇錯，但唔係科學記數法，嗰分就冇咗。所以每次寫完，都望一望前面個數係咪符合 $1\le a<10$。驗算：$320\,000\times 0.000\,000\,04 = 0.0128$，同 $1.28\times 10^{-2}$ 一樣。

指數定律用嚟簡化，科學記數法用嚟寫數，其實係同一套規則。下一篇講公式主項變換（Change of subject）：將一條公式搬嚟搬去，揾出你想要嗰個字母。嗰陣會成日用到今日講嘅乘除同乘方，所以記得先將呢五條定律練熟。

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