【PY100】MATHS 数学篇 – (1) 指数运算法则与科学记数法 Laws of Indices & Scientific Notation

MATHS 数学篇的第一篇，我们从指数讲起。理由很简单：因式分解、二次方程、指数函数、对数，一直到中六都离不开这几条法则。很多同学在中五做错的代数题，追查下去，其实是中二的指数没有弄清楚。所以这一篇不是复习前的热身，而是整个数学篇的地基。

先把记号讲清楚。$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘，例如 $2^3 = 2\times 2\times 2 = 8$。要注意，指数只作用于紧挨着它的底数：$-3^2$ 是 $-(3\times 3) = -9$，而 $(-3)^2$ 才是 $(-3)\times(-3) = 9$。计算器和试卷都是这样理解的，所以看到负号时，先看清楚有没有括号。

幂（Power）：$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘，读作「$a$ 的 $n$ 次方」。1. $a$ 叫做底数（Base）。2. $n$ 叫做指数（Index），表示底数要乘多少次。

五条指数运算法则从哪里来

这些法则不必死记，数一数有几个底数就能推出来。$a^3\times a^2$ 就是 $(a\times a\times a)\times(a\times a)$，一共 5 个 $a$，所以等于 $a^5$——指数 3 加 2。$(a^3)^2$ 是 $a^3\times a^3$，两组、每组三个 $a$，也就是 $a^6$——指数 3 乘 2。其余三条也是这样数出来的，忘记的时候自己数一遍就行。

指数运算法则（Laws of indices）：当 $a\neq 0$、$b\neq 0$，且 $m$、$n$ 为整数时：1. $a^m\times a^n = a^{m+n}$，同底数幂相乘，指数相加。2. $a^m\div a^n = a^{m-n}$，同底数幂相除，指数相减。3. $(a^m)^n = a^{mn}$，幂的乘方，指数相乘。4. $(ab)^n = a^nb^n$，积的乘方，每个因式分别乘方。5. $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$，商的乘方，分子分母分别乘方。

最常见的错误有三个。第一，相乘时把指数也乘起来：$a^3\times a^2$ 是 $a^5$，不是 $a^6$。第二，括号外的指数漏掉了系数：$(2x^3)^2 = 4x^6$，不是 $2x^6$，因为 2 也在括号里。第三，底数不同也硬把指数相加：$2^3\times 3^2$ 不能用第一条法则合并，只能分别计算，等于 $8\times 9 = 72$。

零指数幂与负整数指数幂

由第二条法则，$a^3\div a^3 = a^{3-3} = a^0$。而一个非零的数除以它自己，结果一定是 1，所以 $a^0$ 只能等于 1。同理，$a^2\div a^5 = a^{2-5} = a^{-3}$；直接约分则得到 $\frac{a\times a}{a\times a\times a\times a\times a} = \frac{1}{a^3}$。两个结果必须一致，所以 $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$。零指数幂和负整数指数幂并不是新规则，而是让五条法则在指数为 0 或负数时仍然成立。

零指数幂与负整数指数幂（Zero and negative integral indices）：当 $a\neq 0$ 时：1. $a^0 = 1$。2. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$。负指数不表示这个数变成负数，而表示它要移到分母（或从分母移上来）。

这里有两个陷阱。$2^{-3}$ 等于 $\frac{1}{8}$，是正数，不是 $-8$。另外，负指数同样只作用于紧挨着它的底数：$3a^{-2} = \frac{3}{a^2}$，3 留在分子；只有 $(3a)^{-2}$ 才等于 $\frac{1}{9a^2}$。题目要求「用正指数表示答案」，考的正是这一步移得对不对。

例题一：化简并用正指数表示

DSE 卷一开头很常见这类题目：化简 $\frac{(2a^3b^{-1})^2}{4a^{-2}b^3}$，答案用正指数表示。我们一步一步来：

1. 先去括号。括号外的 2 次方要作用到里面每一个因式上，包括系数 2：$(2a^3b^{-1})^2 = 2^2a^{3\times 2}b^{-1\times 2} = 4a^6b^{-2}$
2. 系数相除：$\frac{4}{4} = 1$
3. $a$ 的同底数幂相除，指数相减。这一步最容易错——减去一个负数等于加上它：$a^{6-(-2)} = a^{8}$
4. $b$ 同样处理：$b^{-2-3} = b^{-5}$
5. 最后把负指数移到分母：$a^8b^{-5} = \frac{a^8}{b^5}$

答案是 $\frac{a^8}{b^5}$。要验算，可以代入 $a = 1$、$b = 2$：原式为 $\frac{(2\times 1\times 2^{-1})^2}{4\times 1^{-2}\times 2^3} = \frac{1}{32}$，答案为 $\frac{1^8}{2^5} = \frac{1}{32}$，两者相同。

科学记数法：很大和很小的数怎么写

指数最实际的用处，是书写那些大到或小到数不清有几个零的数。光速约为每秒 $300\,000\,000$ 米，一个细菌约长 $0.000\,002$ 米——这样写很容易数错位。改用 10 的幂来写，就变成 $3\times 10^8$ 和 $2\times 10^{-6}$，大小一目了然。

科学记数法（Scientific notation）：把一个正数写成 $a\times 10^n$ 的形式，其中 $1\le a<10$，$n$ 为整数。1. 原数大于或等于 10 时，$n$ 为正数。2. 原数大于或等于 1 且小于 10 时，$n = 0$。3. 原数小于 1 时，$n$ 为负数。

转换时，只要数一数小数点移动了几位：向左移几位，指数就是正几；向右移几位，指数就是负几。

• $5\,030\,000 = 5.03\times 10^6$：小数点向左移了 6 位。
• $0.000\,407 = 4.07\times 10^{-4}$：小数点向右移了 4 位。

例题二：科学记数法的乘法

计算 $(3.2\times 10^5)\times(4\times 10^{-8})$，答案用科学记数法表示。

1. 把数字部分和 10 的幂分开，各自相乘：$(3.2\times 4)\times(10^5\times 10^{-8})$
2. 数字部分：$3.2\times 4 = 12.8$
3. 同底数幂相乘，指数相加：$10^{5+(-8)} = 10^{-3}$
4. $12.8\times 10^{-3}$ 还不是科学记数法，因为 12.8 大于 10。把它写成 $1.28\times 10^1$，再用一次第一条法则：$1.28\times 10^1\times 10^{-3} = 1.28\times 10^{-2}$

答案是 $1.28\times 10^{-2}$。很多人写到 $12.8\times 10^{-3}$ 就停下——数值没错，但不是科学记数法，这一分就丢了。所以每次写完，都要检查前面的数是否满足 $1\le a<10$。验算：$320\,000\times 0.000\,000\,04 = 0.0128$，与 $1.28\times 10^{-2}$ 相同。

指数运算法则用来化简，科学记数法用来写数，其实是同一套规则。下一篇讲公式变形（改变公式的主项，Change of subject）：把一条公式移来移去，求出你想要的那个字母。到时会反复用到今天讲的乘除和乘方，所以请先把这五条法则练熟。

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