【PY100】MATHS 數學篇 – (2) 公式主項變換 Change of Subject of Formulas

上一篇講完指數定律，結尾講過今次要將公式搬嚟搬去。物理堂嘅 $v = u + at$、圓面積嘅 $A = \pi r^2$，公式通常寫成「一個字母 = 一條式」。但題目好多時俾咗你 $A$，要你求 $r$——咁就要將條公式改寫，等 $r$ 自己企喺等號一邊。呢個步驟叫公式主項變換（Change of subject），之後解方程、計面積體積、做物理題，日日都用到。

主項（Subject）：一條公式入面，自己一個企喺等號一邊嘅字母，例如 $A = \pi r^2$ 嘅主項係 $A$。1. 公式主項變換就係將公式改寫，令另一個字母變成主項。2. 改寫完，新主項淨係可以喺等號一邊出現，而且只出現一次，另一邊冇佢。

原則：等號兩邊做同一樣嘢

一條公式好似一個天秤，等號兩邊一樣重。左邊加 3，右邊都要加 3；左邊乘 5，右邊都要乘 5——兩邊一齊做，條公式先至仲係啱。老師成日講嘅「搬過去變號」，其實就係咁嚟：兩邊一齊減 32，左邊嘅 $+32$ 冇咗，右邊就多咗個 $-32$。睇落似係個數自己跳咗過去，但背後係兩邊做同一樣嘢。

至於要做咩運算，就要睇你想要嗰個字母俾人做過啲咩。好似 $F = \frac{9C}{5} + 32$ 入面，$C$ 先乘 9、再除以 5、最後加 32，一層包一層。要拆返出嚟，就用相反嘅運算，而且次序倒返轉：最後包上去嗰層，最先拆。好似除衫咁，先著底衫後著外套，除嘅時候就先除外套。

逆運算（Inverse operation）：可以抵銷另一個運算嘅運算。1. 加同減係一對。2. 乘同除係一對。3. 平方同開平方根係一對（個數要係非負數）。改主項嗰陣，由最外面嗰層開始，用逆運算逐層拆走。

例題一：攝氏同華氏

華氏溫度 $F$ 同攝氏溫度 $C$ 嘅關係係 $F = \frac{9C}{5} + 32$，要將 $C$ 變成主項。啱啱講過，$C$ 係先乘 9、再除以 5、再加 32，所以我哋倒轉次序拆：

1. 最後包上去嘅係加 32，所以第一步兩邊減 32：$F - 32 = \frac{9C}{5}$
2. 兩邊乘 5。呢步最多人錯：5 要乘晒成個左邊，所以 $F - 32$ 一定要加括號：$5(F - 32) = 9C$
3. 兩邊除以 9，再左右對調，等 $C$ 企喺左邊：$C = \frac{5(F - 32)}{9}$

答案係 $C = \frac{5(F - 32)}{9}$。如果第二步漏咗括號，寫成 $5F - 32$，即係淨係 $F$ 乘咗 5，32 冇乘到，後面點計都錯。驗算：水喺華氏 212 度滾，代 $F = 212$ 入去，$C = \frac{5 \times 180}{9} = 100$，啱晒係攝氏 100 度。

例題二：有平方根嘅公式

單擺擺一次嘅時間 $T$ 同擺長 $L$ 嘅關係係 $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$，當中 $g$ 係重力加速度，要將 $L$ 變成主項。$L$ 先除以 $g$，再開方，最後乘 $2\pi$，咁就由乘 $2\pi$ 嗰層開始拆：

1. 兩邊除以 $2\pi$：$\frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{g}}$
2. 開方嘅逆運算係平方，兩邊一齊平方。成個左邊都要平方，分子分母都計埋，所以 $2\pi$ 平方係 $4\pi^2$，唔係 $2\pi^2$：$\frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{L}{g}$
3. 兩邊乘 $g$，$L$ 就淨返自己一個：$L = \frac{gT^2}{4\pi^2}$

答案係 $L = \frac{gT^2}{4\pi^2}$。驗算唔使用真實數字，揀啲易計嘅就得：設 $g = \pi^2$、$L = 4$，原式得到 $T = 2\pi\sqrt{\frac{4}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4$；再將 $T = 4$ 代入答案，$L = \frac{\pi^2 \times 16}{4\pi^2} = 4$，返返原本個數。

例題三：新主項喺兩度出現

DSE 卷一好鍾意考呢種：將 $x$ 變成 $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ 嘅主項。難就難喺 $x$ 喺分子同分母都有，淨係逐層拆係拆唔到嘅。方法係先將所有有 $x$ 嘅項集中喺同一邊，再抽 $x$ 出嚟。

1. 兩邊乘 $(x - 3)$，先除走分母：$y(x - 3) = 2x + 1$
2. 拆括號，$y$ 要乘晒括號入面兩項：$xy - 3y = 2x + 1$
3. 有 $x$ 嘅項搬去左邊，冇 $x$ 嘅搬去右邊，搬過去記得變號：$xy - 2x = 3y + 1$
4. 呢步係成題嘅關鍵：左邊兩項都有 $x$，抽 $x$ 出嚟做公因式（Common factor），$x$ 就淨係出現一次：$x(y - 2) = 3y + 1$
5. 兩邊除以 $(y - 2)$：$x = \frac{3y + 1}{y - 2}$

答案係 $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$，而 $y \neq 2$，因為分母唔可以係 0。驗算：代 $x = 4$ 入原式，$y = \frac{9}{1} = 9$；再代 $y = 9$ 入答案，$x = \frac{28}{7} = 4$，返返原本個數。

最常見嘅錯，係做到一半就收工。例如由 $xy - 3y = 2x + 1$ 直接寫 $x = \frac{2x + 3y + 1}{y}$——睇落好似搞掂，但右邊仲有 $x$，$x$ 根本未變成主項，呢題冇分。所以每次寫完都望一望：等號另一邊仲有冇新主項？有嘅話，就仲未做完。

總結一下：兩邊做同一樣嘢；按相反次序，用逆運算逐層拆；新主項出現多過一次，就先集中、再抽公因式。例題三用到嘅拆括號同抽公因式，喺呢篇只係一筆帶過。下一篇講多項式基本運算與展開（Polynomial expansion），由點樣乘開括號講起，將呢啲步驟逐一講清楚。

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