上一篇我哋用因式定理（factor theorem），將多項式（polynomial）拆成幾個因式（factor）相乘。今次唔再淨係睇一條式，而係比較兩條式：佢哋有幾多部分一樣？又要砌到幾齊，先可以同時俾兩條式除得盡？呢兩個問題就係今次要解決嘅重點。先拆、再比較，會比對住展開式估答案清楚好多。
「共同有」同「兩邊都夠用」係咩意思？
最高公因式（highest common factor，HCF）：可以將每條原式都除得盡、而且次數最高嘅共同因式。1. 每條原式都一定要有佢包含嘅因式。2. 每種因式可以攞幾多份，要睇份數最少嗰條式；數字部分就另計最高公因數。
最低公倍式（lowest common multiple，LCM）：可以俾每條原式都除得盡、而且次數最低嘅非零多項式。1. 每條原式需要嘅因式都要齊。2. 每種因式要預幾多份，要睇份數最多嗰條式；數字部分就另計最低公倍數。
留意兩個方向：HCF 係用嚟除原式，LCM 就係俾原式去除。呢篇用整數係數嘅例子，先抽出整數公因數，再將括號拆盡；數字部分揀正數，照整數嘅 HCF 同 LCM 處理。「最高」同「最低」唔係叫你代一個數入去鬥大細，而係比較因式可以包含幾多份。
我哋先將兩條式拆到最盡
例題：求 同 嘅 HCF 同 LCM。題目俾嘅係展開式，仲睇唔到重複因式；我哋先抽數字公因數，再用上一篇嘅方法搵一次因式，最後用完全平方式（perfect square expression）拆商式。
- 先處理第一條：。括號入面代 1 得到 ，所以有因式 。除完得到 。
- 二次式仲拆得：，所以 。同一個因式出現兩次，要用平方保留份數。
- 再處理第二條：。代 1 得到 ，除以 後，得到 。
- 商式係完全平方式：。所以 ，今次有兩份嘅係另一個括號。
數字都拆開睇：，而 。下面每張卡代表一份因式，同一欄係同一種因式嘅同一份。虛線格代表嗰條式冇嗰一份，唔係代表乘以 0；乘積入面冇呢個因式，即係佢嘅指數（exponent）係 0。
圖入面，HCF 嗰行淨係保留兩條原式都有嘅卡；LCM 嗰行就保留任何一條原式用到嘅卡。同一份共同因式唔使重複放兩次，但某條式本身有兩份，就一定要留夠兩份。呢個就係較細次方同較大次方規則嘅原因。
點樣由份數寫出答案？
- 搵 HCF 先睇數字：6 同 9 嘅最高公因數係 3，唔係 6，因為用 6 去除 9 會有餘數。
- 再睇 ：第一條有兩份，第二條有一份，兩邊都攞得出嘅淨係一份。
- 最後睇 ：第一條有一份，第二條有兩份，所以都淨係攞一份。將揀好嘅因式乘埋就係答案。
點解唔可以再加多一份 ？因為第二條式唔夠份數，會除唔盡。加多一份 都一樣，今次輪到第一條式唔夠。HCF 唔止要共同有，仲要攞到兩邊共同擁有嘅全部份數。
- 搵 LCM 先睇數字：6 同 9 嘅最低公倍數係 18。佢有一份 2 同兩份 3，啱啱夠兩個數各自用。
- 對住 ，要滿足第一條式嘅兩份，所以揀 。
- 對住 ，要滿足第二條式嘅兩份，所以揀 。咁先可以同時俾兩條式除得盡。
因式份數規則：先因式分解，再逐種因式比較指數（exponent）。1. HCF 揀較細嘅指數。2. LCM 揀較大嘅指數。某條式冇嗰種因式，就當佢嘅指數係 0；所以淨係一邊有嘅因式唔會入 HCF，但一定要入 LCM。
除返轉頭，點樣知道自己揀啱？
用除法驗算最直接。先將兩條原式分別除以 HCF；再將 LCM 分別除以兩條原式。下面四個商式都係多項式，冇因式留喺分母，證明兩個答案嘅整除方向都啱。呢度係檢查多項式除法，唔係叫你喺因式等於 0 嗰陣計分數值。
另一個快驗算係 ：同一種因式嘅較細指數加較大指數，啱啱等於原本兩個指數加埋；數字亦有 。不過呢個關係係講兩條非零多項式，唔好直接套落三條式。淨係將兩條原式相乘通常會多攞共同因式，所以唔一定係 LCM。
今次要記住嘅次序係拆盡、比較份數、乘返、除返驗算。答案保留因式形式就夠，展開反而遮住咗共同部分。下一篇我哋會開始一元一次方程（linear equation in one unknown）同應用題，將一句句條件寫成等式，再一步步搵未知數。
詳情：DSE 數學補習課程
如需轉載，請電郵至 [email protected] 查詢。