【PY100】MATHS 数学篇 – (10) 多项式的最大公因式与最小公倍式 HCF & LCM of Polynomials

上一篇利用因式定理（factor theorem），把多项式（polynomial）写成几个因式（factor）的乘积。这次要比较两个多项式：哪些部分是双方共有的？怎样组成一个多项式，才能同时被这两个原式整除？本篇将逐一解决这两个问题。关键是先分解，再比较，不能只凭展开式中相似的项猜测。

公共部分与共同倍式

最大公因式（highest common factor，HCF）：能整除每个原多项式，且次数最高的公共因式。1. 它包含的每种因式都必须出现在所有原式中。2. 每种因式的份数受份数最少的原式限制；数字部分另取最大公因数。

最小公倍式（lowest common multiple，LCM）：能被每个原多项式整除，且次数最低的非零多项式。1. 每个原式需要的因式都必须包含。2. 每种因式的份数应满足份数最多的原式；数字部分另取最小公倍数。

整除方向要分清：用 HCF 去除每个原式，用每个原式去除 LCM。本文使用整系数多项式，先提取整数公因数，再将括号完全分解；数字部分取正数，按整数的最大公因数与最小公倍数处理。这里的大小不是代入某个数值后比较结果，而是比较因式及其重复份数。

先完成因式分解

例题：求 $A=6x^3-18x+12$ 与 $B=9x^3+27x^2-36$ 的 HCF 和 LCM。展开式隐藏了重复因式。先提取数字公因数，再利用上一篇的方法找到一次因式，最后用完全平方式（perfect square expression）分解相应的商式。

1. 先提取第一式的公因数：$A=6(x^3-3x+2)$。括号内代入 1，得到 $1-3+2=0$，因此有因式 $x-1$。相除后得到 $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)$。
2. 继续分解二次式：$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$，所以 $A=6(x-1)^2(x+2)$。同一个因式出现两次，用平方记录份数。
3. 再看第二式：$B=9(x^3+3x^2-4)$。代入 1 得到 $1+3-4=0$，所以除以 $x-1$，得到 $x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4)$。
4. 商式是完全平方式：$x^2+4x+4=(x+2)^2$。因此 $B=9(x-1)(x+2)^2$。这次重复两份的是另一个因式。

数字部分也分解：$6=2\times3$，$9=3^2$。下图每张卡片表示一份因式，同一列对应同种因式的同一份。虚线框表示缺少这一份，并不是乘以 0。某种因式没有出现，就将它的指数（exponent）记为 0。

HCF 一行只保留两个原式共有的卡片；LCM 一行则保留任一原式需要的卡片。共同的一份不需要重复放置，但如果某个原式本来就需要两份，LCM 就必须保留两份。这解释了为什么两种运算分别选择较小指数与较大指数。

按份数选择因式

1. 求 HCF，先看数字：6 与 9 的最大公因数为 3。不能选 6，因为 6 不能整除 9。
2. 比较 $x-1$：第一式有两份，第二式有一份，所以双方都能提供的只有一份。
3. 比较 $x+2$：第一式有一份，第二式有两份，所以仍取一份。将选出的因式相乘。

为什么不能再增加一份 $x-1$？因为第二式没有足够份数，增加后就不能整除它。同样，增加一份 $x+2$ 会超过第一式的份数。HCF 既要是公共因式，也要包含双方共有的全部份数。

1. 求 LCM，先看数字：6 与 9 的最小公倍数为 18。它包含一份 2 与两份 3，恰好满足两个数字各自的需要。
2. 对于 $x-1$，第一式需要两份，所以选择 $(x-1)^2$。
3. 对于 $x+2$，第二式需要两份，所以选择 $(x+2)^2$。这样才能同时被两个原式整除。

因式份数规则：先完全分解因式，再逐种比较指数（exponent）。1. HCF 取较小指数。2. LCM 取较大指数。某个原式没有这种因式时，它的指数为 0；因此，只出现在一个原式中的因式不进入 HCF，但必须进入 LCM。

用除法检验结果

先用 HCF 分别去除两个原式，再用两个原式分别去除 LCM。下面四个商都是多项式，分母没有留下因式，说明两个答案的整除方向都正确。这里检验的是多项式除法，不是在分母因式为零时计算分式的值。

还可以用 $HL=AB$ 快速检验。同种因式的较小指数与较大指数之和，等于原来两个指数之和；数字部分也满足 $3\times18=6\times9$。这个关系适用于两个非零多项式，不能直接推广到三个。直接将两个原式相乘，通常会重复计算共同因式，因此乘积不一定是 LCM。

操作顺序是：完全分解、比较份数、相乘、相除检验。答案保留因式形式即可，展开反而会隐藏公共部分。下一篇进入一元一次方程（linear equation in one unknown）及应用题，学习将文字条件写成等式，再逐步求出未知数。

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