上一篇我哋將買票同文具題列成聯立一次方程（simultaneous linear equations），再解返未知數。今次換成有平方項嘅方程：逐項搬過等號仲未夠，因為同一個數平方之後，可能同另一個數平方嘅結果一樣。我哋會用配方法（completing the square）睇清楚呢件事，再學二次公式（quadratic formula），處理唔易因式分解嘅題目。
二次方程（quadratic equation）：整理同合併同類項之後，可以寫成 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a , b , c a,b,c a , b , c a ≠ 0 a\ne0 a = 0 配方法：點樣補成一個完整平方？ 例題一：解 x 2 + 6 x − 7 = 0 x^2+6x-7=0 x 2 + 6 x − 7 = 0
配方法（completing the square）：用 x 2 + 2 p x + p 2 = ( x + p ) 2 x^2+2px+p^2=(x+p)^2 x 2 + 2 p x + p 2 = ( x + p ) 2 兩邊加 7，先將常數移去右邊：x 2 + 6 x = 7 x^2+6x=7 x 2 + 6 x = 7 一次項係數係 6，除以 2 得 3，再平方就係 3 2 = 9 3^2=9 3 2 = 9 兩邊同時加 9：x 2 + 6 x + 9 = 7 + 9 = 16 x^2+6x+9=7+9=16 x 2 + 6 x + 9 = 7 + 9 = 16 左邊砌成平方：( x + 3 ) 2 = 16 (x+3)^2=16 ( x + 3 ) 2 = 16 x + 3 = ± 4 x+3=\pm4 x + 3 = ± 4 分開兩種情況，再兩邊減 3：x = − 3 + 4 = 1 x=-3+4=1 x = − 3 + 4 = 1 x = − 3 − 4 = − 7 x=-3-4=-7 x = − 3 − 4 = − 7 x = 1 x=1 x = 1 x = − 7 x=-7 x = − 7 圖解：x + 3 x+3 x + 3 x x x 16 = 4 \sqrt{16}=4 16 = 4
1 2 + 6 ( 1 ) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0 , ( − 7 ) 2 + 6 ( − 7 ) − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 1^2+6(1)-7=1+6-7=0,\qquad (-7)^2+6(-7)-7=49-42-7=0 1 2 + 6 ( 1 ) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0 , ( − 7 ) 2 + 6 ( − 7 ) − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 代返原式，兩個答案都令左邊等於 0，驗算就完成。呢題冇話未知數係長度或者件數，所以負根一樣要留低。如果題目有實際情境，先按嗰個量嘅限制揀答案，唔好一見負數就刪。
二次公式：平方項前面唔係 1，又點算？ 對一般嘅 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a a a
x 2 + b a x = − c a ⟹ ( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a 2 − c a = b 2 − 4 a c 4 a 2 x^2+\frac ba x=-\frac ca\quad\Longrightarrow\quad\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca=\frac{b^2-4ac}{4a^2} x 2 + a b x = − a c ⟹ ( x + 2 a b ) 2 = 4 a 2 b 2 − a c = 4 a 2 b 2 − 4 a c 二次公式（quadratic formula）：對 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 a\ne0 a = 0 b 2 − 4 a c ≥ 0 b^2-4ac\ge0 b 2 − 4 a c ≥ 0 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 a 2a 2 a 例題二：解 2 x 2 − 4 x = 1 2x^2-4x=1 2 x 2 − 4 x = 1 2 x 2 − 4 x − 1 = 0 2x^2-4x-1=0 2 x 2 − 4 x − 1 = 0 a = 2 , b = − 4 , c = − 1 a=2,\ b=-4,\ c=-1 a = 2 , b = − 4 , c = − 1
將三個係數連符號放入括號：x = − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) 2 ( 2 ) x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(2)(-1)}}{2(2)} x = 2 ( 2 ) − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) 先計根號入面：( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) = 16 + 8 = 24 (-4)^2-4(2)(-1)=16+8=24 ( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) = 16 + 8 = 24 再計分子開頭同分母：x = 4 ± 24 4 x=\frac{4\pm\sqrt{24}}4 x = 4 4 ± 24 將根式化簡：24 = 4 × 6 = 2 6 \sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt6 24 = 4 × 6 = 2 6 x = 4 ± 2 6 4 = 1 ± 6 2 x=\frac{4\pm2\sqrt6}{4}=1\pm\frac{\sqrt6}{2} x = 4 4 ± 2 6 = 1 ± 2 6 寫齊兩個答案：x = 1 + 6 2 x=1+\frac{\sqrt6}{2} x = 1 + 2 6 x = 1 − 6 2 x=1-\frac{\sqrt6}{2} x = 1 − 2 6 2.225 2.225 2.225 − 0.225 -0.225 − 0.225 圖解：畫出 y = 2 x 2 − 4 x − 1 y=2x^2-4x-1 y = 2 x 2 − 4 x − 1 y = 0 y=0 y = 0 x = 1 x=1 x = 1 2 x 2 − 4 x − 1 = 2 ( x − 1 ) 2 − 3 2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3 2 x 2 − 4 x − 1 = 2 ( x − 1 ) 2 − 3
2 ( ( 1 ± 6 2 ) − 1 ) 2 − 3 = 2 ( ± 6 2 ) 2 − 3 = 2 ⋅ 6 4 − 3 = 0 2\left(\left(1\pm\frac{\sqrt6}{2}\right)-1\right)^2-3=2\left(\pm\frac{\sqrt6}{2}\right)^2-3=2\cdot\frac64-3=0 2 ( ( 1 ± 2 6 ) − 1 ) 2 − 3 = 2 ( ± 2 6 ) 2 − 3 = 2 ⋅ 4 6 − 3 = 0 根式答案係精確值；小數只係近似值。題目冇要求取近似值，就保留根式。如果用已經四捨五入嘅數驗算，可能只會接近 0，唔會啱啱等於 0，所以最好用精確值檢查。
揀方法同交答案嗰陣，記住啲咩？ 容易因式分解就可以先分解；想睇清楚平方同兩個根嘅關係，就用配方法；唔易分解，二次公式就好方便。 用配方法嗰陣，如果 a ≠ 1 a\ne1 a = 1 a a a 用公式之前，先令一邊等於 0，再連正負號抄低三個係數；代入負係數嗰陣加括號，減少符號錯誤。 開平方嗰步有冇漏咗負嗰支？公式嘅分母有冇包住成個分子？如果根號入面係負數，就冇實數根，唔好硬開平方。 今次兩題都有兩個實數根，但唔係條條二次方程都係咁。下一篇我哋會用判別式（discriminant）b 2 − 4 a c b^2-4ac b 2 − 4 a c
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