上一篇从购票和文具问题建立二元一次方程组（simultaneous linear equations），并求出未知量。本篇转向含有平方项的方程。仅靠移项还不能解出未知数，因为两个不同的数可能有相同的平方。我们先用配方法（completing the square）理解两个解的来源，再学习求根公式（quadratic formula），处理不容易因式分解的方程。
一元二次方程（quadratic equation）：整理并合并同类项后，可以写成 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a , b , c a,b,c a , b , c a ≠ 0 a\ne0 a = 0 配方法：补上什么才能得到完全平方？ 例题一：解 x 2 + 6 x − 7 = 0 x^2+6x-7=0 x 2 + 6 x − 7 = 0
配方法（completing the square）：利用 x 2 + 2 p x + p 2 = ( x + p ) 2 x^2+2px+p^2=(x+p)^2 x 2 + 2 p x + p 2 = ( x + p ) 2 两边加 7，将常数移到右边：x 2 + 6 x = 7 x^2+6x=7 x 2 + 6 x = 7 一次项系数为 6，它的一半为 3，而 3 2 = 9 3^2=9 3 2 = 9 两边同时加 9：x 2 + 6 x + 9 = 7 + 9 = 16 x^2+6x+9=7+9=16 x 2 + 6 x + 9 = 7 + 9 = 16 左边写成完全平方：( x + 3 ) 2 = 16 (x+3)^2=16 ( x + 3 ) 2 = 16 x + 3 = ± 4 x+3=\pm4 x + 3 = ± 4 分别求解，两边减 3：x = − 3 + 4 = 1 x=-3+4=1 x = − 3 + 4 = 1 x = − 3 − 4 = − 7 x=-3-4=-7 x = − 3 − 4 = − 7 x = 1 x=1 x = 1 x = − 7 x=-7 x = − 7 图解：x + 3 x+3 x + 3 x x x 16 = 4 \sqrt{16}=4 16 = 4
1 2 + 6 ( 1 ) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0 , ( − 7 ) 2 + 6 ( − 7 ) − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 1^2+6(1)-7=1+6-7=0,\qquad (-7)^2+6(-7)-7=49-42-7=0 1 2 + 6 ( 1 ) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0 , ( − 7 ) 2 + 6 ( − 7 ) − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 两个值代入原式后，左边都等于 0，因此都通过检验。题目没有规定未知数代表长度或件数，负根也应保留。如果是实际问题，再根据未知量的含义筛选答案，不能仅凭结果为负就舍去。
求根公式：二次项系数不为 1 时怎么办？ 对于一般方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a a a
x 2 + b a x = − c a ⟹ ( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a 2 − c a = b 2 − 4 a c 4 a 2 x^2+\frac ba x=-\frac ca\quad\Longrightarrow\quad\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca=\frac{b^2-4ac}{4a^2} x 2 + a b x = − a c ⟹ ( x + 2 a b ) 2 = 4 a 2 b 2 − a c = 4 a 2 b 2 − 4 a c 求根公式（quadratic formula）：对于 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 a\ne0 a = 0 b 2 − 4 a c ≥ 0 b^2-4ac\ge0 b 2 − 4 a c ≥ 0 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 a 2a 2 a 例题二：解 2 x 2 − 4 x = 1 2x^2-4x=1 2 x 2 − 4 x = 1 2 x 2 − 4 x − 1 = 0 2x^2-4x-1=0 2 x 2 − 4 x − 1 = 0 a = 2 , b = − 4 , c = − 1 a=2,\ b=-4,\ c=-1 a = 2 , b = − 4 , c = − 1
代入三个带符号的系数，负数用括号括起：x = − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) 2 ( 2 ) x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(2)(-1)}}{2(2)} x = 2 ( 2 ) − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) 先计算根号内的数：( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) = 16 + 8 = 24 (-4)^2-4(2)(-1)=16+8=24 ( − 4 ) 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) = 16 + 8 = 24 计算分子开头的相反数及分母：x = 4 ± 24 4 x=\frac{4\pm\sqrt{24}}4 x = 4 4 ± 24 化简根式：24 = 4 × 6 = 2 6 \sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt6 24 = 4 × 6 = 2 6 x = 4 ± 2 6 4 = 1 ± 6 2 x=\frac{4\pm2\sqrt6}{4}=1\pm\frac{\sqrt6}{2} x = 4 4 ± 2 6 = 1 ± 2 6 写出两个解：x = 1 + 6 2 x=1+\frac{\sqrt6}{2} x = 1 + 2 6 x = 1 − 6 2 x=1-\frac{\sqrt6}{2} x = 1 − 2 6 2.225 2.225 2.225 − 0.225 -0.225 − 0.225 图解：曲线 y = 2 x 2 − 4 x − 1 y=2x^2-4x-1 y = 2 x 2 − 4 x − 1 y = 0 y=0 y = 0 x = 1 x=1 x = 1 2 x 2 − 4 x − 1 = 2 ( x − 1 ) 2 − 3 2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3 2 x 2 − 4 x − 1 = 2 ( x − 1 ) 2 − 3
2 ( ( 1 ± 6 2 ) − 1 ) 2 − 3 = 2 ( ± 6 2 ) 2 − 3 = 2 ⋅ 6 4 − 3 = 0 2\left(\left(1\pm\frac{\sqrt6}{2}\right)-1\right)^2-3=2\left(\pm\frac{\sqrt6}{2}\right)^2-3=2\cdot\frac64-3=0 2 ( ( 1 ± 2 6 ) − 1 ) 2 − 3 = 2 ( ± 2 6 ) 2 − 3 = 2 ⋅ 4 6 − 3 = 0 根式表示精确值，小数表示近似值。若题目未要求取近似值，应保留根式。用已经四舍五入的结果检验，通常只能得到接近 0 的数，因此检验时优先使用精确值。
选方法与检查答案时注意什么？ 容易因式分解时，可以先分解；配方法有助于理解平方与两个根的关系；不易分解时，求根公式通常更直接。 配方时，如果 a ≠ 1 a\ne1 a = 1 a a a 使用公式前先将一边化为 0，再连同符号确定三个系数；代入负系数时加括号，避免符号错误。 检查开平方时是否遗漏负的一支，以及整个分子是否都除以公式的分母。根号内为负数时，没有实数根，不能按正数开平方。 本篇两个方程都有两个实数根，但并非所有一元二次方程都如此。下一篇介绍判别式（discriminant）b 2 − 4 a c b^2-4ac b 2 − 4 a c
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