【PY100】MATHS 數學篇 – (15) 二次方程：判別式嘅應用 Discriminant & Nature of Roots

上一篇我哋用配方法（completing the square）同二次公式（quadratic formula）解方程，兩條例題都搵到兩個實數答案。不過，公式入面嘅正負號係咪保證永遠有兩個唔同答案？今次我哋先唔急住解，淨係睇根號入面嗰個數，就可以分清楚有兩個相異實根、一個重實根，定係冇實根。呢個方法仲可以幫我哋搵出參數要符合咩條件。

判別式（discriminant）：對二次方程（quadratic equation）$ax^2+bx+c=0$，當 $a,b,c$ 係實數，而且 $a\ne0$，判別式就係 $\Delta=b^2-4ac$。佢嘅正負可以話俾我哋知實根嘅數目；實根（real root）就係代返方程之後令等式成立嘅實數。

點解淨係睇判別式就得？因為分母 $2a$ 唔係 0。根號入面係正數，開平方之後加同減就會得到兩個唔同值；根號入面係 0，加 0 同減 0 得到同一個值；根號入面係負數，喺實數範圍就開唔到平方。所以判別式係用嚟判斷根嘅情況，唔係方程嘅答案本身。

二次方程嘅實根分三種情況：1. $\Delta>0$：有兩個相異實根（distinct real roots），即係兩個唔同嘅實數答案。2. $\Delta=0$：有一個重實根（repeated real root），即係兩個根重疊咗，唯一嘅實數答案係 $x=-\frac{b}{2a}$。3. $\Delta<0$：冇實根，即係搵唔到任何實數令方程成立。

同一組方程，點樣由兩個根變成冇實根？

例題一：比較 $x^2-2x+k=0$ 喺 $k=0,1,2$ 嗰陣嘅實根。三條方程嘅平方項同一次項都一樣，淨係常數變咗。我哋先計判別式，再用解方程核對，睇吓個分類係咪真係啱。

1. 當 $k=0$，方程係 $x^2-2x=0$。判別式係 $\Delta=(-2)^2-4(1)(0)=4>0$，所以有兩個相異實根。因式分解得 $x(x-2)=0$，即係 $x=0$ 或 $x=2$。
2. 當 $k=1$，判別式係 $\Delta=(-2)^2-4(1)(1)=0$，所以有一個重實根。方程寫成 $(x-1)^2=0$，開平方得 $x-1=0$，所以唯一嘅答案係 $x=1$。
3. 當 $k=2$，判別式係 $\Delta=(-2)^2-4(1)(2)=-4<0$。配方得 $(x-1)^2=-1$；實數嘅平方唔會係負數，所以冇實根。

圖解：畫 $y=x^2-2x+k$ 呢組拋物線（parabola），同橫軸相遇就代表 $y=0$。由左至右，曲線向上移，交點由兩個變成一個，再變成零個。中間嗰幅淨係掂住橫軸，冇穿過去，但接觸點嘅橫坐標一樣係根。呢個就係例題一三個判斷嘅圖像意思。

要分清楚：判別式等於 0，唔代表根等於 0。上面中間嗰題嘅根係 1。重根係同一個答案重複出現，唔可以當成兩個相異答案；冇實根就係冇實數答案，講結論嗰陣要保留「實」字。

題目俾咗參數，我哋點樣搵範圍？

例題二：喺 $x^2-2x+k=0$ 入面，$k$ 係實數。分別搵出有兩個相異實根、有重實根同冇實根嗰陣，$k$ 嘅條件。呢次唔係淨係試三個值，而係要交代晒所有可能。

1. 方程已經一邊等於 0，連符號讀係數：$a=1,\ b=-2,\ c=k$。平方項係數固定係 1，所以每個 $k$ 都仲係二次方程。
2. 代入判別式之後，化簡返：$\Delta=(-2)^2-4(1)(k)=4-4k$。
3. 兩個相異實根嘅條件係 $4-4k>0$。兩邊減 4 得 $-4k>-4$。
4. 再除以負 4，要反轉不等號，所以兩個相異實根嘅答案係 $k<1$。
5. 重實根要 $4-4k=0$。移項得 $4=4k$，兩邊除以 4，答案就係 $k=1$。
6. 冇實根嘅條件係 $4-4k<0$。兩邊減 4 得 $-4k<-4$。
7. 再除以負 4，同樣要反轉不等號，所以冇實根嘅答案係 $k>1$。

邊界嗰點值得驗一次：將 $k=1$ 同重根 $x=1$ 代返原式，就有 $1^2-2(1)+1=0$。再配方會睇得更清楚：

右邊係正數，就可以向左右各搵到一個答案；右邊係 0，就淨係剩低中心嗰個答案；右邊係負數，就冇實數答案。呢個關係同圖入面三條曲線完全夾返，亦幫我哋檢查到參數不等號有冇反轉錯。

「有實根」或者「至少有一個實根」：兩個相異實根同重實根都計，所以條件係 $\Delta\ge0$。喺例題二，$4-4k\ge0$ 即係 $k\le1$，邊界嗰點都要包埋。

落筆之前，留意呢幾個易錯位

• 先整理成一邊等於 0。例如 $2x^2-4x=3$ 要改成 $2x^2-4x-3=0$，所以 $c=-3$，唔係正 3。
• 負係數要加括號：$(-2)^2=4$，唔好寫成 $-2^2=-4$。係數嘅符號一錯，判別式就會跟住錯。
• 題目問根嘅數目，就計判別式再寫結論，唔使每次都用二次公式解晒兩個根；題目問根嘅值，先要繼續解。
• 如果平方項係數都有參數，記得先排除令 $a=0$ 嘅值。嗰陣已經唔係二次方程，唔可以直接套上面嘅分類。

而家我哋唔使先搵根，都知道實根有幾多個。下一篇會講根與係數嘅關係：唔逐個解根，都可以由係數搵到兩個根嘅和同積，再用呢啲關係處理題目。

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