【PY100】MATHS 数学篇 – (15) 一元二次方程：根的判别式 Discriminant & Nature of Roots

上一篇用配方法（completing the square）和求根公式（quadratic formula）解方程，两个例题都有两个实数解。但公式中的正负号，是否保证一定得到两个不同的答案？本篇先不求根，只看根号内的数，就能判断方程有两个不相等的实根、一个重实根，还是没有实根。这个方法还能帮助我们确定参数需要满足的条件。

判别式（discriminant）：对于一元二次方程（quadratic equation）$ax^2+bx+c=0$，其中 $a,b,c$ 为实数且 $a\ne0$，判别式为 $\Delta=b^2-4ac$。它的正负决定实根的个数。实根（real root）是代入方程后使等式成立的实数。

为什么只看判别式就够了？分母 $2a$ 不为 0。根号内为正数，开平方后加、减这个数会得到两个不同的值；根号内为 0，加 0 和减 0 得到同一个值；根号内为负数，在实数范围内不能开平方。因此，判别式用于判断根的情况，它本身不是方程的解。

一元二次方程的实根分三种情况：1. $\Delta>0$：有两个不相等的实根（distinct real roots），即两个不同的实数解。2. $\Delta=0$：有一个重实根（repeated real root），两个根重合，唯一的实数解为 $x=-\frac{b}{2a}$。3. $\Delta<0$：没有实根，即不存在使方程成立的实数。

同一组方程，为什么实根的个数会变化？

例题一：比较 $x^2-2x+k=0$ 在 $k=0,1,2$ 时的实根。三个方程的二次项和一次项相同，只有常数项变化。先计算判别式，再通过解方程核对判断。

1. 当 $k=0$ 时，方程为 $x^2-2x=0$。判别式为 $\Delta=(-2)^2-4(1)(0)=4>0$，所以有两个不相等的实根。因式分解得 $x(x-2)=0$，于是 $x=0$ 或 $x=2$。
2. 当 $k=1$ 时，$\Delta=(-2)^2-4(1)(1)=0$，所以有一个重实根。方程可写成 $(x-1)^2=0$，开平方得 $x-1=0$，因此唯一的解为 $x=1$。
3. 当 $k=2$ 时，$\Delta=(-2)^2-4(1)(2)=-4<0$。配方得 $(x-1)^2=-1$。实数的平方不可能为负数，所以没有实根。

图解：画出这组抛物线（parabola）$y=x^2-2x+k$，曲线与横轴相遇时便有 $y=0$。从左到右，曲线上移，与横轴的公共点从两个变成一个，再变成零个。中间的曲线只与横轴相切，并未穿过横轴，但接触点的横坐标仍然是根。这正是例题一三个结论的图像含义。

判别式等于 0，不代表根等于 0。中间那个方程的根是 1。重根表示同一个解重复出现，不能算作两个不同的解。没有实根表示没有实数解，结论中应保留“实”字，明确讨论的范围。

含参数的方程，怎样确定取值范围？

例题二：已知 $x^2-2x+k=0$，其中 $k$ 为实数。分别求方程有两个不相等的实根、有重实根和没有实根时，$k$ 的取值条件。这次需要覆盖所有可能的值，不能只检验三个数。

1. 方程已整理为一边等于 0，连同符号确定系数：$a=1,\ b=-2,\ c=k$。二次项系数固定为 1，因此任何 $k$ 都不会使方程失去二次项。
2. 代入判别式并化简：$\Delta=(-2)^2-4(1)(k)=4-4k$。
3. 两个不相等的实根要求 $4-4k>0$。两边减 4，得 $-4k>-4$。
4. 再除以负 4，不等号要反向，所以两个不相等的实根对应的范围为 $k<1$。
5. 重实根要求 $4-4k=0$。移项得 $4=4k$，两边除以 4，得 $k=1$。
6. 没有实根要求 $4-4k<0$。两边减 4，得 $-4k<-4$。
7. 再除以负 4，同样要改变不等号方向，所以没有实根对应的范围为 $k>1$。

检验边界：将 $k=1$ 和重根 $x=1$ 代入原式，得到 $1^2-2(1)+1=0$。再用配方法，可以更直接地理解整个范围：

右边为正数时，中心左右各有一个解；右边为 0 时，只剩中心处的解；右边为负数时，没有实数解。这与图中的三条曲线一致，也可以帮助检查解参数不等式时是否把方向写反。

“有实根”或“至少有一个实根”：既包括两个不相等的实根，也包括重实根，因此条件为 $\Delta\ge0$。在例题二中，$4-4k\ge0$ 等价于 $k\le1$，边界值也应包括在内。

容易出错的地方

• 先整理为一边等于 0。例如 $2x^2-4x=3$ 应改写为 $2x^2-4x-3=0$，所以 $c=-3$，不是正 3。
• 负系数要加括号：$(-2)^2=4$，不要写成 $-2^2=-4$。系数的符号写错，判别式就会算错。
• 题目只问实根的个数，计算判别式并写出结论即可；题目要求根的值时，才需要继续求解。
• 如果二次项系数也含有参数，先排除使 $a=0$ 的值。此时方程已不是一元二次方程，不能直接使用上述分类。

现在我们能够不先求根，就判断实根的个数。下一篇学习根与系数的关系：不用分别解出两个根，也能从系数求出两根之和与两根之积，并利用这些关系解题。

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