【PY100】MATHS 數學篇 – (16) 二次方程：根同係數嘅關係 Relations between Roots and Coefficients

接住判別式（discriminant）嘅概念：$b^2-4ac$ 嘅正負可以話俾我哋知，二次方程（quadratic equation）有幾多個實根（real root）。但如果題目淨係問兩個根加埋或者乘埋係幾多，係咪仲要用二次公式逐個解？今次我哋會睇到，呢啲資料其實已經藏咗喺係數入面。

根（root）係代返方程之後，令等式成立嘅未知數值。喺 $ax^2+bx+c=0$ 入面，$a,b$ 分別係二次項同一次項嘅係數（coefficient），$c$ 係常數項，而且 $a\ne0$。

點解係數會同兩個根有關？

假設兩個實根係 $\alpha$ 同 $\beta$，呢兩個希臘字母只係根嘅名。重根都得，嗰陣就將同一個值計兩次。原本嘅二次式可以寫成下面嘅因式，再逐項展開；前面嘅 $a$ 要留低，先保留到原本平方項嘅係數。

兩個寫法係同一個二次式，所以一次項同常數項要分別對得上：$b=-a(\alpha+\beta)$，同埋 $c=a\alpha\beta$。兩邊各自除以 $a$，就得到根同係數嘅關係。根嘅和前面多咗個負號，正正係因為兩個因式入面都係減根。

根嘅和同積（sum and product of roots）：對有兩個實根 $\alpha,\beta$ 嘅 $ax^2+bx+c=0$，1. 兩根嘅和係 $\alpha+\beta=-\frac ba$。2. 兩根嘅積係 $\alpha\beta=\frac ca$。重根要計兩次；兩條關係都要除以 $a$。

例題一：唔逐個解根，點計平方和？

已知 $2x^2-7x+3=0$ 嘅兩個根係 $\alpha,\beta$，求 $\alpha^2+\beta^2$。先確認 $(-7)^2-4(2)(3)=25>0$，所以真係有兩個相異實根。題目問平方和，唔係根嘅和再平方，呢個分別最容易睇漏。

1. 先連符號讀係數：$a=2,\ b=-7,\ c=3$。所以兩根嘅和係 $\alpha+\beta=-\frac{-7}{2}=\frac72$，積就係 $\alpha\beta=\frac32$。
2. 展開和嘅平方，睇清楚多咗咩：$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$。中間仲有交叉項，唔可以直接當成平方和。
3. 兩邊減去交叉項：$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$。呢一步將要搵嘅量，改寫成已經知道嘅和同積。
4. 代入再逐步計：$\alpha^2+\beta^2=\left(\frac72\right)^2-2\left(\frac32\right)=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$。所以答案係 $\frac{37}{4}$。

圖解：用呢題嘅根 3 同 $\frac12$ 畫面積圖，大正方形嘅面積係 $(\alpha+\beta)^2$。扣走兩塊各有面積 $\alpha\beta$ 嘅灰色長方形，先剩返紫色嘅平方和。唔係淨係扣一次積，因為交叉項有兩塊。

驗算先解返根：$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$，所以 $x=\frac12$ 或 $x=3$。代返因式，兩個值都令乘積等於 0；再計 $\left(\frac12\right)^2+3^2=\frac14+9=\frac{37}{4}$，同頭先答案一樣。解根係呢度嘅驗算，唔係前面計平方和必經嘅步驟。

例題二：俾咗兩個根，點砌返方程？

用兩根砌方程：如果兩個根嘅和係 $S$，積係 $P$，咁二次項係數係 1 嘅方程就係 $x^2-Sx+P=0$。成條方程乘同一個非零常數，兩個根都唔會改變。

求一條整數係數嘅二次方程，兩個根分別係 $2+\sqrt3$ 同 $2-\sqrt3$。唔好一見根號就取小數：一加一減嘅結構，啱啱可以令根號喺和同積入面消失。

圖解：兩個根喺 2 左右各離開 $\sqrt3$，中點就係 2。所以兩根嘅和係中點嘅兩倍；下面第一步嘅根號抵消，喺數線上就係呢個意思。

1. 先計和：$S=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$，因為正負根號互相抵消咗。
2. 再用平方差計積：$P=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1$。
3. 將和同積放返正確位置：$x^2-Sx+P=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+1=0$。呢條就係一個答案，一次項要用和嘅相反數。
4. 配好平方驗算兩個根：$x^2-4x+1=(x-2)^2-3$；代入其中一個根，都有 $(\pm\sqrt3)^2-3=3-3=0$，所以兩個根都啱。

方程唔止一條：例如 $2x^2-8x+2=0$ 都有同一對根。不過題目淨係要一條整數係數方程，寫最簡單嗰條就得。反過來，如果淨係俾兩個數做和同積，未必砌到有實根嘅方程，仲要用判別式確認，唔好將實根嘅存在當成必然。

交答案之前，睇返呢三樣嘢

• 先將方程整理到一邊等於 0，先讀係數；搬項之後正負號可能已經改咗。
• 根嘅和係 $-b/a$，唔係 $b/a$；根嘅積係 $c/a$，唔好漏咗分母。
• 求平方和嗰陣，要扣兩次根嘅積；用和同積砌方程嗰陣，一次項前面就要加返負號。

我哋而家識由係數讀根嘅資料，亦識反過來砌方程。下一篇會轉去一元一次不等式（linear inequality in one unknown）：答案通常係一段範圍，我哋會用數線畫出佢，亦會解釋點解乘或者除以負數嗰陣，不等號要反轉。

詳情：DSE 數學補習課程

如需轉載，請電郵至 [email protected] 查詢。