【PY100】MATHS 数学篇 – (16) 一元二次方程：根与系数的关系 Relations between Roots and Coefficients

接着根的判别式（discriminant）往下看：$b^2-4ac$ 的符号能告诉我们，一元二次方程（quadratic equation）有几个实根（real root）。如果题目只问两个根的和或积，是否还要用求根公式分别求出它们？本篇从因式展开出发，说明这些信息如何直接体现在系数中。

根（root）是代入方程后使等式成立的未知数的值。在 $ax^2+bx+c=0$ 中，$a,b$ 分别是二次项和一次项的系数（coefficient），$c$ 是常数项，且 $a\ne0$。

系数为什么与两个根有关？

设两个实根为 $\alpha$ 和 $\beta$，这两个希腊字母只是根的名称。若为重根，就将相同的值计算两次。二次式可以写成下面的因式形式，再逐项展开。前面的 $a$ 保证二次项系数与原式相同。

两种写法表示同一个多项式，对应项的系数应相等，因此 $b=-a(\alpha+\beta)$，且 $c=a\alpha\beta$。分别除以 $a$，就得到根与系数的关系。根的和前面出现负号，是因为两个因式都写成未知数减去根。

根的和与积（sum and product of roots）：对于有两个实根 $\alpha,\beta$ 的 $ax^2+bx+c=0$，1. 两根之和为 $\alpha+\beta=-\frac ba$。2. 两根之积为 $\alpha\beta=\frac ca$。重根计算两次；两个关系式都要除以 $a$。

例题一：不求出各根，计算平方和

已知 $2x^2-7x+3=0$ 的两根为 $\alpha,\beta$，求 $\alpha^2+\beta^2$。先确认 $(-7)^2-4(2)(3)=25>0$，方程确有两个不相等的实根。注意题目要求平方和，不是和的平方。

1. 连同符号确定系数：$a=2,\ b=-7,\ c=3$。因此 $\alpha+\beta=-\frac{-7}{2}=\frac72$，而 $\alpha\beta=\frac32$。
2. 展开和的平方：$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$。中间还有交叉项，所以不能把和的平方直接当作平方和。
3. 两边减去交叉项：$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$。目标式现在只包含已经知道的和与积。
4. 代入并计算：$\alpha^2+\beta^2=\left(\frac72\right)^2-2\left(\frac32\right)=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$。所求的平方和为 $\frac{37}{4}$。

图解：用本题的根 3 和 $\frac12$ 作面积图，大正方形的面积为 $(\alpha+\beta)^2$。减去两块面积各为 $\alpha\beta$ 的灰色长方形，才得到紫色区域表示的平方和。交叉项对应两块区域，因此要减去两次根的积。

检验时再求根：$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$，所以 $x=\frac12$ 或 $x=3$。两个值代入因式后都使乘积为 0；直接计算 $\left(\frac12\right)^2+3^2=\frac14+9=\frac{37}{4}$，与原答案一致。这里求根是为了检验，前面的计算并不需要这一步。

例题二：由两个根建立方程

由两根建立方程：若两根之和为 $S$，积为 $P$，则二次项系数为 1 的方程是 $x^2-Sx+P=0$。将整条方程乘以同一个非零常数，根保持不变。

求一个整系数一元二次方程，使它的两根分别为 $2+\sqrt3$ 和 $2-\sqrt3$。先保留根式，不要换成近似小数。一加一减的结构能让和与积中的根号消去。

图解：两个根在 2 的两侧，各相距 $\sqrt3$，所以中点为 2，根的和就是中点的两倍。这是下面第一步中正负根号相消的数轴解释。

1. 先求和：$S=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$，正负根式相互抵消。
2. 利用平方差求积：$P=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1$。
3. 将和与积放入对应位置：$x^2-Sx+P=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+1=0$。这就是一个符合要求的方程，一次项系数是根的和的相反数。
4. 配方检验：$x^2-4x+1=(x-2)^2-3$。代入任一根，均有 $(\pm\sqrt3)^2-3=3-3=0$，所以两个根都满足方程。

这样的方程不唯一，例如 $2x^2-8x+2=0$ 也有相同的根。题目只要求一个整系数方程，写最简单的即可。另一方面，任意给出两个数作为和与积，并不能保证所建立的方程有实根，还需用判别式确认。

检查这三个易错点

• 先把方程整理为一边等于 0，再确定系数；移项可能改变正负号。
• 根的和为 $-b/a$，不是 $b/a$；根的积为 $c/a$，两者都不能漏掉分母。
• 求平方和时，应减去两倍的根的积；由和与积建立方程时，一次项系数应取和的相反数。

现在我们既能从系数读取根的信息，也能由根建立方程。下一篇转向一元一次不等式（linear inequality in one unknown）：用数轴表示一段解集，并解释为什么两边乘或除以负数时，不等号要改变方向。

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