【PY100】MATHS 數學篇 – (3) 多項式基本運算與展開 Polynomial Expansion & Operations

上一篇例題三，我哋由 $y(x - 3) = 2x + 1$ 拆括號，最後又抽 $x$ 出嚟做公因式，兩步都只係一筆帶過。呢篇就由頭講清楚多項式（Polynomial）嘅加、減、乘，同埋點樣將括號乘開，即係展開（Expansion）。之後因式分解、解二次方程，全部都係由呢度起步，呢度唔穩，後面每一課都會跌分。

多項式（Polynomial）：由一個或者幾個項（Term）用加號、減號連埋嘅代數式，每一項係一個數乘一啲字母，字母嘅指數要係 0 或者正整數。1. 項入面嗰個數叫係數（Coefficient），例如 $3x^2$ 嘅係數係 3。2. 冇字母嘅項叫常數項（Constant term）。3. 次數最高嗰項嘅次數，就係成個多項式嘅次數（Degree）。

例如 $3x^2 - 5x + 2$ 有三項，係數係 3 同 $-5$，常數項係 2，最高次嗰項係 $3x^2$，所以佢係二次多項式。留意 $-5x$ 嗰個負號係跟住項走嘅，係數係 $-5$ 而唔係 5——之後減數、變號，成日就係喺呢度出事。至於 $\frac{1}{x}$ 或者 $\sqrt{x}$，字母嘅指數唔係 0 或者正整數，所以佢哋唔係多項式。

加同減：淨係同類項先可以合併

同類項（Like terms）：字母一樣、而且每個字母嘅指數都一樣嘅項，例如 $5x^2$ 同 $-x^2$。1. 合併同類項，即係將係數加埋或者減埋，字母部分照抄。2. 唔係同類項就唔可以合併：$x^2$ 同 $x$ 字母一樣，但指數唔同，所以 $x^2 + x$ 已經係最簡。

例如化簡 $(3x^2 + 5x - 2) - (x^2 - 4x + 7)$。加法好簡單，括號拆咗就係；減法就要小心，因為減號後面成個括號都要減，括號入面每一項都要變號，唔係淨係第一項。

1. 拆括號。減號後面嘅三項全部變號，$x^2$ 變 $-x^2$，$-4x$ 變 $+4x$，$+7$ 變 $-7$：$3x^2 + 5x - 2 - x^2 + 4x - 7$
2. 將同類項排埋一齊：$(3x^2 - x^2) + (5x + 4x) + (-2 - 7)$
3. 合併係數，答案係 $2x^2 + 9x - 9$

乘法：每一項都要乘到

乘法靠嘅係分配律（Distributive law）：括號外面嗰項，要乘晒括號入面每一項。例如 $2x(3x^2 - x + 4) = 6x^3 - 2x^2 + 8x$。字母相乘就用返第一篇嘅指數定律：$2x \cdot 3x^2 = 6x^{1+2} = 6x^3$，係數相乘，指數相加。最常見嘅錯係淨係乘咗第一項，寫成 $6x^3 - x + 4$。

展開（Expansion）：將有括號嘅乘積乘開，寫成一個冇括號嘅多項式。1. 分配律：$a(b + c) = ab + ac$。2. 兩個多項式相乘，第一個括號嘅每一項，都要同第二個括號嘅每一項乘一次，最後先合併同類項。3. 兩項乘兩項有 4 個積，兩項乘三項有 6 個，數一數就知有冇漏。

點解要「每一項乘每一項」？睇 $(x + 3)(x + 2)$ 就明。佢可以當係一個長方形嘅面積：長係 $x + 3$，闊係 $x + 2$。將長同闊各自切開兩段，個長方形就分成四塊。

四塊加埋：$(x + 3)(x + 2) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$。每一塊都係第一個括號嘅一項乘第二個括號嘅一項，漏乘一對，個長方形就會穿咗個窿。中間 $3x$ 同 $2x$ 係同類項，乘晒之後先合併。

三條要識嘅恒等式

恒等式（Identity）：無論字母代咩數入去，兩邊都一樣嘅等式。展開嗰陣最常用嘅三條：1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。3. $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。

三條都係「每一項乘每一項」嘅結果，唔使死記：$(a + b)^2$ 即係 $(a + b)(a + b)$，四個積係 $a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$，中間兩個 $ab$ 合埋就係 $2ab$。第三條中間嘅 $+ab$ 同 $-ab$ 抵銷咗，所以淨返兩項。

例題：一條式，兩個陷阱

化簡 $(x + 3)^2 - (2x - 3)(x + 4)$。呢題有兩個位最多人錯，我哋分三步做。第一步：用第一條恒等式展開 $(x + 3)^2$，當中 $a = x$、$b = 3$：

第一個陷阱就喺呢度：好多同學一見 $(x + 3)^2$ 就直接寫 $x^2 + 9$，即係將平方分咗俾括號入面每一項。睇返個正方形，$x^2$ 同 9 只係兩個角，兩條 $3x$ 長條冇咗，面積就唔夠。代個數試吓：$x = 1$ 嗰陣 $(1 + 3)^2 = 16$，但 $1^2 + 9 = 10$，差咗嘅 6 就係兩條 $3x$。

第二步：展開 $(2x - 3)(x + 4)$。兩項乘兩項，有 4 個積，負號跟住 3 一齊乘：

第三步：相減。第二個陷阱嚟喇——減嘅係成個積，所以展開完要先加返括號，再將括號入面每一項變號，然後合併同類項，由次數最高嗰項排落去：

答案係 $-x^2 + x + 21$。如果冇加括號，寫成 $x^2 + 6x + 9 - 2x^2 + 5x - 12$，即係淨係第一項變咗號，後面兩項冇變，就會得出 $-x^2 + 11x - 3$，錯晒。驗算：代 $x = 1$ 入原式，$(1 + 3)^2 - (2 - 3)(1 + 4) = 16 - (-5) = 21$；代入答案，$-1 + 1 + 21 = 21$，兩邊一樣。代一個數證明唔到條式一定啱，但好多時一代就捉到錯。

總結一下：加減淨係合併同類項，減號後面成個括號都要變號；乘法每一項乘每一項，數清楚有幾多個積；平方要當兩個括號相乘，中間嗰項唔好漏。下一篇講因式分解：提公因式與分組，即係將展開倒轉做——例如由 $6x^3 - 2x^2 + 8x$ 抽返 $2x$ 出嚟，變返 $2x(3x^2 - x + 4)$，好似由長方形嘅面積讀返佢嘅長同闊。

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