【PY100】MATHS 数学篇 – (3) 多项式的基本运算与展开 Polynomial Expansion & Operations

上一篇的例题三，我们从 $y(x - 3) = 2x + 1$ 去括号，最后又把 $x$ 作为公因式提出来，这两步都只是一笔带过。本篇从头讲清楚多项式（Polynomial）的加、减、乘，以及怎样把括号乘开，也就是展开（Expansion）。之后的因式分解、解一元二次方程，都从这里起步；这里不扎实，后面每一课都会丢分。

多项式（Polynomial）：由一个或几个项（Term）用加号、减号连接而成的代数式，每一项是一个数与若干字母的积，字母的指数是 0 或正整数。1. 项中的数字因数叫做系数（Coefficient），例如 $3x^2$ 的系数是 3。2. 不含字母的项叫做常数项（Constant term）。3. 次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（Degree）。

例如 $3x^2 - 5x + 2$ 有三项，系数是 3 和 $-5$，常数项是 2，次数最高的项是 $3x^2$，所以它是二次三项式。注意 $-5x$ 前面的负号是跟着这一项走的，系数是 $-5$ 而不是 5——后面做减法、变号时，问题往往就出在这里。至于 $\frac{1}{x}$ 或 $\sqrt{x}$，字母的指数不是 0 或正整数，所以它们都不是多项式。

加减：只有同类项才能合并

同类项（Like terms）：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，例如 $5x^2$ 与 $-x^2$。1. 合并同类项，就是把系数相加减，字母部分保持不变。2. 不是同类项就不能合并：$x^2$ 与 $x$ 字母相同但指数不同，所以 $x^2 + x$ 已经是最简结果。

例如化简 $(3x^2 + 5x - 2) - (x^2 - 4x + 7)$。加法很简单，直接去括号即可；减法就要小心，因为减号后面减去的是整个括号，括号里的每一项都要变号，而不只是第一项。

1. 去括号。减号后面的三项全部变号，$x^2$ 变为 $-x^2$，$-4x$ 变为 $+4x$，$+7$ 变为 $-7$：$3x^2 + 5x - 2 - x^2 + 4x - 7$
2. 把同类项放在一起：$(3x^2 - x^2) + (5x + 4x) + (-2 - 7)$
3. 合并系数，结果是 $2x^2 + 9x - 9$

乘法：每一项都要乘到

乘法依靠的是乘法分配律（Distributive law）：括号外的项，要分别乘括号里的每一项。例如 $2x(3x^2 - x + 4) = 6x^3 - 2x^2 + 8x$。字母相乘时用第一篇的指数运算法则：$2x \cdot 3x^2 = 6x^{1+2} = 6x^3$，系数相乘，指数相加。最常见的错误是只乘了第一项，写成 $6x^3 - x + 4$。

展开（Expansion）：把含括号的乘积乘开，写成不含括号的多项式。1. 分配律：$a(b + c) = ab + ac$。2. 两个多项式相乘，用第一个括号的每一项分别乘第二个括号的每一项，最后再合并同类项。3. 两项乘两项得 4 个积，两项乘三项得 6 个积，数一数就知道有没有漏乘。

为什么要“每一项乘每一项”？看 $(x + 3)(x + 2)$ 就明白了。它可以看作一个长方形的面积：长是 $x + 3$，宽是 $x + 2$。把长和宽各分成两段，长方形就被分成了四块。

四块面积相加：$(x + 3)(x + 2) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$。每一块都是第一个括号的一项乘第二个括号的一项，漏乘一对，长方形就缺了一块。中间的 $3x$ 与 $2x$ 是同类项，全部乘完以后再合并。

三个必须掌握的恒等式

恒等式（Identity）：无论字母取什么值，两边都相等的等式。展开时最常用的是下面三个乘法公式：1. 完全平方公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。2. 完全平方公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。3. 平方差公式 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。

这三个公式都是“每一项乘每一项”的结果，不必死记：$(a + b)^2$ 就是 $(a + b)(a + b)$，四个积是 $a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$，中间两个 $ab$ 合并就是 $2ab$。平方差公式中间的 $+ab$ 与 $-ab$ 互相抵消，所以只剩两项。

例题：一道题，两个陷阱

化简 $(x + 3)^2 - (2x - 3)(x + 4)$。这道题有两处最容易出错，我们分三步来做。第一步：用完全平方公式展开 $(x + 3)^2$，其中 $a = x$，$b = 3$：

第一个陷阱就在这里：很多同学一看到 $(x + 3)^2$ 就直接写成 $x^2 + 9$，相当于把平方分别作用在括号里的每一项上。看看这个正方形，$x^2$ 和 9 只是两个角，两条 $3x$ 长条不见了，面积自然不够。代一个数试试：$x = 1$ 时 $(1 + 3)^2 = 16$，而 $1^2 + 9 = 10$，相差的 6 正是两条 $3x$。

第二步：展开 $(2x - 3)(x + 4)$。两项乘两项，得 4 个积，负号要跟着 3 一起乘：

第三步：相减。第二个陷阱来了——减去的是整个乘积，所以展开后要先加上括号，再去括号、把括号里的每一项变号，然后合并同类项，按降幂排列：

答案是 $-x^2 + x + 21$。如果没有加括号，写成 $x^2 + 6x + 9 - 2x^2 + 5x - 12$，就只有第一项变了号，后两项没变，结果变成 $-x^2 + 11x - 3$，全错。验算：把 $x = 1$ 代入原式，$(1 + 3)^2 - (2 - 3)(1 + 4) = 16 - (-5) = 21$；代入答案，$-1 + 1 + 21 = 21$，两边相等。代入一个数不能证明结果一定正确，但很多错误一代就能发现。

小结：加减只合并同类项，减号后面整个括号都要变号；乘法每一项乘每一项，数清楚有几个积；平方要看作两个括号相乘，中间项不能漏。下一篇讲因式分解：提公因式法与分组分解法，也就是把展开倒过来做——例如从 $6x^3 - 2x^2 + 8x$ 提出 $2x$，变回 $2x(3x^2 - x + 4)$，就像从长方形的面积读回它的长和宽。

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