【PY100】MATHS 數學篇 – (4) 因式分解：提公因式與分組 Factorization: Common Factors & Grouping

上一篇最尾留低咗一個問題：由 $6x^3 - 2x^2 + 8x$ 抽返 $2x$ 出嚟，變返 $2x(3x^2 - x + 4)$。展開係將括號乘開，因式分解（Factorization）就係倒轉做：將一個多項式寫返做幾個因式相乘。之後解二次方程、化簡分式，第一步差唔多一定係因式分解，所以呢篇由最基本嘅兩招講起：提公因式同分組分解。

因式分解（Factorization）：將一個多項式寫成幾個多項式相乘嘅形式。1. 相乘嘅每一部分叫因式（Factor），例如 $2x$ 同 $3x^2 - x + 4$ 都係 $6x^3 - 2x^2 + 8x$ 嘅因式。2. 要分到每個因式都分唔落去為止，即係完全分解。3. 因式分解同展開係一來一回：分解完再展開，一定要得返原式。

提公因式：搵出每一項都有嘅部分

公因式（Common factor）：多項式入面每一項都有嘅因式。1. 最大公因式（H.C.F.）：係數攞佢哋嘅最大公因數，每個字母攞佢喺各項入面最細嘅指數。2. 提公因式：將最大公因式抽出嚟擺喺括號外面，每一項除以佢，得出嚟嘅商就擺入括號。3. 原式有幾多項，括號入面就有幾多項，一項都唔可以少。

睇返 $6x^3 - 2x^2 + 8x$，我哋分四步做：

1. 睇係數：6、$-2$、8 嘅最大公因數係 2。負號唔使理住，佢會跟住嗰項留喺括號入面。
2. 睇字母：三項都有 $x$，指數係 3、2、1，攞最細嗰個，即係 $x^1 = x$。所以最大公因式係 $2x$。
3. 每一項除以 $2x$：$6x^3 \div 2x = 3x^2$、$-2x^2 \div 2x = -x$、$8x \div 2x = 4$。
4. 寫答案：$6x^3 - 2x^2 + 8x = 2x(3x^2 - x + 4)$。驗算：代 $x = 1$，原式係 $6 - 2 + 8 = 12$，答案係 $2(3 - 1 + 4) = 12$，兩邊一樣。

同上一篇嘅長方形一樣諗：展開係知道長同闊去計面積；提公因式就係知道每格嘅面積，同埋三格共用嗰條邊 $2x$，倒轉計返每格頂邊有幾長。如果淨係抽 $x$，寫成 $x(6x^2 - 2x + 8)$，條式冇錯，但括號入面三個係數仲有公因數 2，即係未分解完，考試會扣分。所以每次都要抽最大嗰個。

第一個陷阱：有一項本身就係公因式。例如 $4a^2b - 2ab$，最大公因式係 $2ab$，第二項除以 $2ab$ 得 $-1$，唔係 0，所以：

好多同學見第二項成項抽咗出嚟，就以為冇嘢剩，寫成 $2ab(2a)$。展開佢淨係得 $4a^2b$，$-2ab$ 唔見咗。記住定義第 3 點：原式有兩項，括號入面都要有兩項，抽晒嗰項就留返個 1 喺度。

分組分解：四項冇公因式點算

公因式唔一定係單項式，可以係成個括號。例如 $3x(y - 2) + 5(y - 2)$，兩項都有 $(y - 2)$，抽出嚟就係 $(y - 2)(3x + 5)$。分組分解就係專登砌出呢個情況：四項式成條睇冇公因式，就兩兩分組，每組各自提公因式，等兩組剩低嘅括號一模一樣。

分組分解（Factorization by grouping）：將多項式嘅項分成幾組，每組各自提公因式，再將大家都有嘅括號抽多一次。1. 兩組剩低嘅括號要一模一樣，先可以再抽。2. 第二組前面係減號，就連個負號一齊抽出嚟，括號入面每一項都要變號。3. 括號對唔上，就換過另一個分法再試。

例題：分組嗰陣最易錯嘅一個負號

因式分解 $2ax - 6ay - bx + 3by$。四項加埋冇公因式，所以將頭兩項同尾兩項各自分做一組：

1. 分組。第二組由減號開始，連個負號一齊括住：$(2ax - 6ay) + (-bx + 3by)$
2. 第一組提 $2a$：$2ax - 6ay = 2a(x - 3y)$
3. 第二組要提 $-b$，唔係 $b$。$-bx \div (-b) = x$，$3by \div (-b) = -3y$，所以 $-bx + 3by = -b(x - 3y)$
4. 兩組都有 $(x - 3y)$，再抽多一次：$2a(x - 3y) - b(x - 3y) = (x - 3y)(2a - b)$

陷阱就喺第 3 步。如果第二組照抽 $b$，就會得 $b(-x + 3y)$，個括號同第一組嘅 $(x - 3y)$ 啱啱正負相反，抽唔到。睇個圖就明：兩行要共用同一條頂邊 $x - 3y$，第二行左邊嗰格先要係 $-b$。另一個常見錯係分組嗰陣寫成 $(2ax - 6ay) - (bx + 3by)$：拆返開係 $-bx - 3by$，$3by$ 嘅正負號變咗，成條式已經唔係原式。

答案係 $(x - 3y)(2a - b)$，兩個因式掉轉次序寫都得。驗算：代 $a = b = x = y = 1$，原式係 $2 - 6 - 1 + 3 = -2$；答案係 $(1 - 3)(2 - 1) = -2$，兩邊一樣。

如果分完組兩個括號對唔上，未必係計錯，可能係組分得唔啱。例如 $x^2 - 2y + 2x - xy$，頭兩項 $x^2$ 同 $-2y$ 冇公因式，一開波就卡住。將次序調做 $x^2 + 2x - xy - 2y$ 再分，第二組一樣連負號抽 $-y$：

總結一下：因式分解先睇有冇公因式，有就抽最大嗰個，抽完數吓括號入面嘅項數夠唔夠；四項式冇公因式就試分組，第二組前面係減號就連負號一齊抽，兩個括號要一模一樣先可以再抽。下一篇講十字相乘法。上一篇我哋展開 $(x + 3)(x + 2)$ 得到 $x^2 + 5x + 6$；而家倒轉，只要將中間嘅 $5x$ 拆返做 $3x + 2x$，用今日嘅分組就分到：$x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2)$。難就難喺題目唔會話你知 $5x$ 點拆，十字相乘法就係搵呢個拆法嘅方法。

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