【PY100】MATHS 数学篇 – (4) 因式分解：提公因式法与分组分解法 Factorization: Common Factors & Grouping

上一篇结尾留下了一个问题：从 $6x^3 - 2x^2 + 8x$ 中提出 $2x$，变回 $2x(3x^2 - x + 4)$。展开是把括号乘开，因式分解（Factorization）则正好相反：把一个多项式写成几个因式的积。之后解一元二次方程、化简分式，第一步几乎都是因式分解，所以本篇从最基本的两种方法讲起：提公因式法和分组分解法。

因式分解（Factorization）：把一个多项式化成几个多项式的积的形式。1. 积中的每一部分叫做因式（Factor），例如 $2x$ 和 $3x^2 - x + 4$ 都是 $6x^3 - 2x^2 + 8x$ 的因式。2. 要分解到每个因式都不能再分解为止。3. 因式分解与展开互为逆运算：分解后再展开，必须得到原式。

提公因式法：找出每一项都含有的部分

公因式（Common factor）：多项式各项都含有的因式。1. 最大公因式（H.C.F.）：系数取各系数的最大公约数，每个字母取它在各项中的最低次幂。2. 提公因式法：把最大公因式提到括号外面，用它去除每一项，所得的商写在括号里。3. 原式有几项，括号里就有几项，一项都不能少。

回到 $6x^3 - 2x^2 + 8x$，我们分四步来做：

1. 看系数：6、$-2$、8 的最大公约数是 2。负号先不用管，它跟着所在的项留在括号里。
2. 看字母：三项都含 $x$，次数分别是 3、2、1，取最低的，即 $x^1 = x$。所以最大公因式是 $2x$。
3. 用 $2x$ 去除每一项：$6x^3 \div 2x = 3x^2$，$-2x^2 \div 2x = -x$，$8x \div 2x = 4$。
4. 写出结果：$6x^3 - 2x^2 + 8x = 2x(3x^2 - x + 4)$。验算：代入 $x = 1$，原式为 $6 - 2 + 8 = 12$，结果为 $2(3 - 1 + 4) = 12$，两边相等。

和上一篇的长方形一样理解：展开是已知长和宽求面积；提公因式则是已知每一格的面积和三格共用的那条边 $2x$，反过来求每一格顶边的长。如果只提出 $x$，写成 $x(6x^2 - 2x + 8)$，式子本身没有错，但括号里三个系数还有公约数 2，分解并不彻底，考试会扣分。所以每次都要提出最大公因式。

第一个陷阱：某一项本身就是公因式。例如 $4a^2b - 2ab$，最大公因式是 $2ab$，第二项除以 $2ab$ 得 $-1$，而不是 0，所以：

很多同学看到第二项整项都被提出来了，就以为什么都不剩，写成 $2ab(2a)$。把它展开只得到 $4a^2b$，$-2ab$ 不见了。记住定义的第 3 点：原式有两项，括号里也必须有两项；整项被提出时，要在原位置留下 1。

分组分解法：四项没有公因式怎么办

公因式不一定是单项式，也可以是整个括号。例如 $3x(y - 2) + 5(y - 2)$，两项都含 $(y - 2)$，提出来就是 $(y - 2)(3x + 5)$。分组分解法就是有意制造这种情况：四项式整体没有公因式，就两两分组，每组分别提公因式，使两组剩下的括号完全相同。

分组分解法（Factorization by grouping）：把多项式的项分成若干组，每组分别提公因式，再把各组共有的括号作为公因式提出。1. 各组剩下的括号必须完全相同，才能继续提取。2. 第二组前面是减号时，连同负号一起提出，括号里的每一项都要变号。3. 括号对不上，就换一种分组方法再试。

例题：分组时最容易出错的负号

分解因式 $2ax - 6ay - bx + 3by$。四项整体没有公因式，所以把前两项和后两项各分成一组：

1. 分组。第二组从减号开始，连同负号一起放进括号：$(2ax - 6ay) + (-bx + 3by)$
2. 第一组提出 $2a$：$2ax - 6ay = 2a(x - 3y)$
3. 第二组要提出 $-b$，而不是 $b$。$-bx \div (-b) = x$，$3by \div (-b) = -3y$，所以 $-bx + 3by = -b(x - 3y)$
4. 两组都含 $(x - 3y)$，再提一次：$2a(x - 3y) - b(x - 3y) = (x - 3y)(2a - b)$

陷阱就在第 3 步。如果第二组照样提出 $b$，就会得到 $b(-x + 3y)$，这个括号和第一组的 $(x - 3y)$ 正好符号相反，无法再提取。看图就明白了：两行必须共用同一条顶边 $x - 3y$，第二行左边那一格就必须是 $-b$。另一个常见错误是分组时写成 $(2ax - 6ay) - (bx + 3by)$：去括号后是 $-bx - 3by$，$3by$ 的符号变了，式子已经不是原式。

答案是 $(x - 3y)(2a - b)$，两个因式交换顺序也可以。验算：代入 $a = b = x = y = 1$，原式为 $2 - 6 - 1 + 3 = -2$；结果为 $(1 - 3)(2 - 1) = -2$，两边相等。

如果分组后两个括号对不上，未必是算错了，可能是分组方法不对。例如 $x^2 - 2y + 2x - xy$，前两项 $x^2$ 和 $-2y$ 没有公因式，一开始就进行不下去。把顺序调整为 $x^2 + 2x - xy - 2y$ 再分组，第二组同样连同负号提出 $-y$：

小结：因式分解先看有没有公因式，有就提出最大公因式，提完数一数括号里的项数够不够；四项式没有公因式就试分组，第二组前面是减号就连同负号一起提出，两个括号完全相同才能再提取。下一篇讲十字相乘法。上一篇我们展开 $(x + 3)(x + 2)$ 得到 $x^2 + 5x + 6$；现在倒过来，只要把中间的 $5x$ 拆成 $3x + 2x$，用本篇的分组分解法就能分解：$x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2)$。难就难在题目不会告诉你 $5x$ 怎样拆，十字相乘法就是找出这种拆法的方法。

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