【PY100】MATHS 數學篇 – (7) 代數分式簡化與加減乘除 Algebraic Fractions

上一篇用恆等式拆開咗平方差同完全平方，最尾留低咗 $\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ 呢條分式。今次就用返佢，睇吓點樣由因式分解行到約分，再做加減乘除。你可以將佢當成普通分數咁諗：規則冇變，不過上下變成代數式，就要先睇清楚邊啲係乘、邊啲係加減。最容易錯嘅，正正係見到相同字母就即刻劃走。

代數分式（algebraic fraction）：兩個多項式（polynomial）相除寫成嘅分式。1. 分子（numerator）喺分數線上面，分母（denominator）喺下面。2. 分母一定唔可以等於 0；令分母變成 0 嘅值，原式就冇定義。3. 約分之後都要保留原式嘅限制，唔可以當佢哋冇咗。

約分約嘅係因式，唔係逐項刪字

約分（cancellation）：分子同分母同時除以同一個非零公因式（common factor），分式嘅值就唔變。1. 因式係乘埋一齊嘅部分，所以要先將上下完整分解。2. 加號或者減號兩邊嘅項，唔可以直接約。3. 用符號寫就係 $\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}\quad(B\ne0,\ C\ne0)$。

1. 先搵原式嘅限制：分母係 $x^2+6x+9=(x+3)^2$，所以 $x\ne-3$。
2. 上下各自分解：分子係平方差，分母係完全平方，所以有 $\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+3)}$。
3. 因為已經知道 $x+3\ne0$，上下可以同時除以一個 $x+3$，答案係 $\frac{x-3}{x+3}\quad(x\ne-3)$。下面原本有兩個相同因式，淨係約走一個，仲剩返一個。

圖入面用 $x=6$ 畫比例：分子面積係 $9\times3=27$，分母係 $9\times9=81$。兩個圖形共用闊度 9，所以 $\frac{27}{81}=\frac{3}{9}=\frac13$，亦驗到頭先嘅答案。面積模型用 $x>3$，等長度都係正；代數約分就喺原式容許嘅值都成立，唔係淨係圖畫到嗰啲值。

反過嚟，$\frac{x+3}{x}$ 唔可以約走上下嘅 $x$，因為上面係兩項相加，唔係成個分子乘住 $x$。代 $x=3$，原式係 2，亂約成 3 就即刻唔啱。仲有 $\frac{x-3}{x-3}=1$ 呢條，答案仍然要寫 $x\ne3$：簡化成 1 唔代表原式突然可以除以 0。

加減要先通分，減號要管晒成個分子

通分（taking a common denominator）：將幾個分式改寫成分母一樣嘅等值分式。1. 每個分式上下要乘同一個非零因式，先保住原來嘅值。2. 同分母之後，淨係將分子加減，分母照留。3. 最簡公分母（least common denominator）要有齊每個分母嘅因式，每種因式用最高次方就夠。

例如分母係 $(x-1)^2$ 同 $(x-1)(x+1)$，最簡公分母就係 $(x-1)^2(x+1)$，唔使將重複嘅因式再乘多次。下面做 $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$：分母唔同，每份嘅大小都唔同，未通分之前唔可以直接減分子。

1. 先記低兩個分母唔可以係 0：$x\ne1,-1$。公分母係 $(x-1)(x+1)$。
2. 第一個分式仲欠嘅因式係 $x+1$，上下同乘佢：$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$。
3. 第二個分式就上下同乘 $x-1$：$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$。
4. 而家先減分子，第二個分子要加括號：$\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$。
5. 拆負括號嗰陣，入面每項都要轉符號：$2(x+1)-(x-1)=2x+2-x+1=x+3$。
6. 上下冇公因式，答案就係 $\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\quad(x\ne1,-1)$。

代 $x=3$ 驗算：原式係 $\frac22-\frac14=\frac34$；答案係 $\frac{3+3}{(3-1)(3+1)}=\frac68=\frac34$。如果改做加法，通分步驟一樣，分子就係 $2(x+1)+(x-1)=3x+1$，所以答案係 $\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}\quad(x\ne1,-1)$。分母照留，唔使一齊加。

乘除先分解；除法仲要睇除數係咪零

分式乘除嘅規則：1. 乘法係分子乘分子、分母乘分母，分解後可以先約公因式。2. 除法係乘返除數嘅倒數（reciprocal），即係將除數上下倒轉。3. 原本每個分母都唔可以係 0，除數本身亦唔可以係 0；倒轉之前就要記低呢啲限制。

乘法我哋做呢條：$\frac{x^2-9}{x+1}\times\frac{x+1}{x+3}$。先由原本兩個分母得出 $x\ne-1,-3$，再分解同約分：

答案冇分母，都唔可以丟低頭先嘅限制。除法再做一條：$\frac{x^2-9}{x+1}\div\frac{x-3}{x+1}$。呢度最易漏嘅唔係倒轉，而係原本除數唔可以等於 0。

1. 原本分母唔可以係 0，所以 $x\ne-1$；除數亦唔可以係 0，仲要 $x-3\ne0$，所以 $x\ne3$。
2. 淨係倒轉除數，除號改乘號：$\frac{x^2-9}{x+1}\times\frac{x+1}{x-3}$。第一個分式唔使倒轉。
3. 分解分子先睇到公因式：$\frac{(x-3)(x+3)(x+1)}{(x+1)(x-3)}$。
4. 約走非零嘅公因式，答案係 $x+3\quad(x\ne-1,3)$。

用 $x=0$ 驗算，原式係 $(-9)\div(-3)=3$，答案亦係 $0+3=3$。你可以每次都跟住呢個次序：先記限制，再分解；加減就通分，乘除就約因式；最尾睇答案仲可唔可以簡化。下一篇我哋講餘式定理（remainder theorem），睇吓點樣用代入求多項式除法嘅餘式。

詳情：DSE 數學補習課程

如需轉載，請電郵至 [email protected] 查詢。