【PY100】MATHS 数学篇 – (7) 分式的化简与四则运算 Algebraic Fractions

上一篇介绍了平方差与完全平方公式，最后留下一个分式：$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$。本篇就从它出发，把因式分解用到约分，再完成分式的加减乘除。分式的运算遵循分数的规则，但分子分母变成多项式后，要先区分加减关系和乘法关系。看见相同的字母就直接划掉，是最需要避免的错误。

分式（algebraic fraction）：两个多项式（polynomial）的商写成的分数形式。1. 分数线上方是分子（numerator），下方是分母（denominator）。2. 分母不能等于 0；使分母为 0 的值不在原式的取值范围内。3. 化简后仍要保留原式的取值限制。

约分的对象是因式

约分（cancellation）：分子分母同时除以同一个非零公因式（common factor），分式的值不变。1. 因式之间是相乘的关系，所以先将分子分母分别因式分解。2. 加减号两边的项不能直接约去。3. 用符号表示为 $\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}\quad(B\ne0,\ C\ne0)$。

1. 先确定取值限制：分母为 $x^2+6x+9=(x+3)^2$，所以 $x\ne-3$。
2. 分子用平方差公式，分母用完全平方公式：$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+3)}$。
3. 由于 $x+3\ne0$，分子分母同时除以一个 $x+3$，得到答案 $\frac{x-3}{x+3}\quad(x\ne-3)$。分母原有两个相同因式，约去一个后还剩一个。

图形按 $x=6$ 的比例绘制。分子面积是 $9\times3=27$，分母面积是 $9\times9=81$。相同的宽度 9 可以约去，因此 $\frac{27}{81}=\frac{3}{9}=\frac13$，也验证了化简结果。面积模型采用 $x>3$ 来保证长度为正；代数运算则适用于原式允许的所有值，不受图形长度的限制。

对比 $\frac{x+3}{x}$：分子中的 $x$ 是一项，而不是整个分子的因式，不能与分母直接约去。代入 $x=3$，原式等于 2，误约成 3 就不相等了。另一个提醒是 $\frac{x-3}{x-3}=1$ 仍有 $x\ne3$ 的限制。化简结果为 1，并不能让原式中的除以 0 变得有意义。

加减先通分，减号作用于整个分子

通分（taking a common denominator）：将几个分式改写成分母相同的等值分式。1. 每个分式的分子分母要乘同一个非零因式。2. 分母相同后，只将分子相加减，分母保持不变。3. 最简公分母（least common denominator）包含各分母的所有因式，每种因式取出现的最高次幂。

例如分母分别为 $(x-1)^2$ 和 $(x-1)(x+1)$，最简公分母是 $(x-1)^2(x+1)$，重复的因式不必再乘一次。现在计算 $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$。分母不同时，每份代表的大小不同，不能直接减分子。

1. 两个分母都不能为 0，所以 $x\ne1,-1$。公分母是 $(x-1)(x+1)$。
2. 第一个分母缺少因式 $x+1$，分子分母同时乘它：$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$。
3. 第二个分式的分子分母同时乘 $x-1$：$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$。
4. 相减时，给第二个分子加上括号：$\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$。
5. 去掉负号后的括号时，每项都变号：$2(x+1)-(x-1)=2x+2-x+1=x+3$。
6. 分子分母没有公因式，答案为 $\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\quad(x\ne1,-1)$。

代入 $x=3$ 检验：原式为 $\frac22-\frac14=\frac34$，结果为 $\frac{3+3}{(3-1)(3+1)}=\frac68=\frac34$。若改成加法，通分过程相同，分子为 $2(x+1)+(x-1)=3x+1$，因此答案为 $\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}\quad(x\ne1,-1)$。分母保持不变。

乘除先分解，除数还要非零

分式乘除法则：1. 相乘时，分子乘分子、分母乘分母，因式分解后可先约分。2. 相除时，乘除数的倒数（reciprocal），即将除数的分子分母交换。3. 原式各分母不能为 0，除数本身也不能为 0；先记录这些限制，再取倒数。

乘法例题：$\frac{x^2-9}{x+1}\times\frac{x+1}{x+3}$。原式的两个分母给出限制 $x\ne-1,-3$。分解分子，约去公因式：

答案虽然没有分母，原式的限制仍要保留。再计算除法：$\frac{x^2-9}{x+1}\div\frac{x-3}{x+1}$。除了检查分母，还要检查除数是否为 0。

1. 原式分母要求 $x\ne-1$。除数不能为 0，所以还要 $x-3\ne0$，即 $x\ne3$。
2. 只将除数取倒数，再把除号改为乘号：$\frac{x^2-9}{x+1}\times\frac{x+1}{x-3}$。第一个分式保持不变。
3. 因式分解后写成 $\frac{(x-3)(x+3)(x+1)}{(x+1)(x-3)}$，这时才能约去公因式。
4. 约去非零公因式后，答案为 $x+3\quad(x\ne-1,3)$。

取 $x=0$ 检验，原式为 $(-9)\div(-3)=3$，答案也为 $0+3=3$。计算时按这个顺序进行：先记取值限制，再因式分解；加减时通分，乘除时约公因式；最后检查能否继续化简。下一篇介绍余式定理（remainder theorem），学习用代入求多项式除法的余式。

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