上一篇我哋用因式分解簡化代數分式，亦講過分母唔可以係 0。今次接住講多項式（polynomial）除法：如果題目淨係問餘式，係咪一定要由頭除到尾？我哋會先睇清楚除法留低咗啲咩，再用餘式定理（remainder theorem）將成個過程縮成一次代入。重點唔係背一個數字，而係明白點解偏偏要代嗰個值。
多項式除法：被除式（dividend）可以寫成「除式（divisor）乘商式（quotient），再加餘式（remainder）」。1. 我哋用 f(x) 表示被除式，Q(x) 表示商式。2. 餘式如果唔係零多項式，佢嘅次數（degree）一定低過除式。3. 除式係一次式嗰陣，餘式就係一個常數（constant），可以係 0。
點解代一個值，就搵到餘式？
普通整數除法都係咁：17=5×3+2，最後嗰個 2 就係未夠再分一份嘅剩餘。多項式除法亦可以將被除式重新砌返出嚟。如果除式係 x−a，餘式記做 r，就有下面呢條恒等式（identity）；佢唔係淨係喺某個值先啱。
f(x)=(x−a)Q(x)+r 餘式定理：多項式 f(x) 除以 x−a 嘅餘式就係 f(a)。1. 先搵令除式等於 0 嘅值 x=a。2. 將呢個值代入原本嘅被除式；f(a) 即係將 f(x) 入面每個 x 都換成 a 之後計到嘅值。
f(a)=(a−a)Q(a)+r=0⋅Q(a)+r=r 呢一步令「除式乘商式」成份變成 0，剩低嘅就淨係餘式。你連商式係咩都唔使知道。留意我哋代入嘅係上面嗰條乘法加法恒等式，唔係將 f(x) 真係除以 0；所以同上一篇分母唔可以係 0 嘅規則冇衝突。
同一條例題，先睇長除法點樣做
我哋要求 f(x)=x3−3x2+4x+5 除以 x−2 嘅餘式。先用長除法（long division）睇清楚每輪「除、乘、減」：每次用剩低部分嘅首項，除以除式嘅首項，再減走成個乘積。
- 第一輪先除首項：x3÷x=x2。乘返除式係 x2(x−2)=x3−2x2；減完就有 (x3−3x2+4x+5)−(x3−2x2)=−x2+4x+5。
- 第二輪係 (−x2)÷x=−x。乘返得到 (−x)(x−2)=−x2+2x；成個括號一齊減：(−x2+4x+5)−(−x2+2x)=2x+5。減負數嗰陣記得轉符號。
- 第三輪係 2x÷x=2。乘返係 2(x−2)=2x−4，所以剩返 (2x+5)−(2x−4)=9。
- 而家剩低常數，次數低過一次除式，可以停。商式係 Q(x)=x2−x+2，餘式係 9；最後一輪減號後面嘅負 4，要變成加 4，唔好計成 1。
圖左邊就係頭先三輪運算；圖右邊解釋點解可以跳過商式。乘返驗算，(x−2)(x2−x+2)=x3−3x2+4x−4，再加 9 就砌返原本嘅被除式。淨係問餘式嘅話，直接代 x=2 就夠，計到嘅答案一樣係 9：
r=f(2)=23−3(2)2+4(2)+5=8−12+8+5=9 除式有加號，或者前面唔係 1，點算？
一次除式嘅通用做法：如果除式係 ax−b(a=0)，就先解 ax−b=0，得到 x=ab。餘式係 f(ab)；要代嘅係令成個除式變成 0 嘅值，唔係直接抄常數項（constant term）。
- 同一個被除式改除以 x+2：先解 x+2=0，即係 x=−2。餘式係 f(−2)=(−2)3−3(−2)2+4(−2)+5=−8−12−8+5=−23。負數代入要加括號，平方同立方嘅符號唔一樣。
- 如果除式改成 2x−4，令佢等於 0 嘅值仍然係 x=2，所以餘式仍然係 f(2)=9，唔使將餘式再除以 2。
原因係原本已經有 f(x)=(2x−4)2x2−x+2+9。除式大咗一倍，商式就細咗一半，剩低嘅 9 冇變。用「先令除式等於 0」呢個方法，遇到加號或者首項有係數都唔使估。
知道餘式，點樣搵返未知係數？
另一類題目會俾你餘式，要你搵未知係數（unknown coefficient）。例如 g(x)=x3+kx2−2x+1 除以 x−1 嘅餘式係 4，求 k。今次我哋唔係估商式，而係用餘式資料砌一條方程。
- 先搵代入值：x−1=0⇒x=1，所以題目講嘅就係 g(1)=4。
- 代入被除式每一項：13+k(1)2−2(1)+1=4，合併常數後就係 k=4，呢個就係答案。
- 將搵到嘅係數放返原式驗算：g(1)=1+4−2+1=4，同題目俾嘅餘式吻合。
最後記住兩個界線：除以 x 先係代 0、直接取常數項；除以其他一次式就要重新搵代入值。如果除式係二次式，餘式可能仲有一次項，唔可以照抄「一次代入就得」呢個結論。下一篇我哋會講因式定理（factor theorem）及佢嘅應用：當餘式啱啱係 0，點樣由整除搵到因式。
詳情：DSE 數學補習課程
如需轉載，請電郵至 [email protected] 查詢。
