【PY100】MATHS 数学篇 – (8) 余式定理 Remainder Theorem

上一篇通过因式分解化简分式，并强调分母不能为 0。现在接着研究多项式（polynomial）的除法：如果只需要余式，还要把整个除法算完吗？余式定理（remainder theorem）让我们用一次代入直接求出余式。先理解除法留下的是什么，再看为什么选择那个代入值，就不容易记错符号。

多项式除法：被除式（dividend）等于除式（divisor）乘商式（quotient），再加余式（remainder）。1. 用 $f(x)$ 表示被除式，$Q(x)$ 表示商式。2. 非零余式的次数（degree）必须低于除式的次数。3. 当除式是一次式时，余式是一个常数（constant），也可以是 0。

为什么代入一个值就能求余式？

整数除法中，$17=5\times3+2$ 表示最后剩下 2，不够再分出一份。多项式除法也能把被除式重新组合出来。除式为 $x-a$，余式记为 $r$，便有下面的恒等式（identity）。它对所有代入值都成立，而不只对某一个值成立。

余式定理：多项式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式等于 $f(a)$。1. 先求使除式为 0 的值 $x=a$。2. 将这个值代入原被除式；$f(a)$ 就是把 $f(x)$ 中每个 $x$ 换成 $a$ 后得到的值。

代入后，「除式乘商式」整个乘积为 0，只留下余式，所以不必先求商式。这里代入的是上面的乘法与加法恒等式，并没有将 $f(x)$ 除以 0。因此，这一步与分母不能为 0 的规则并不矛盾。

先用长除法看清同一个例题

求 $f(x)=x^3-3x^2+4x+5$ 除以 $x-2$ 的余式。先完整做一次长除法（long division）。每一轮都用剩余部分的首项除以除式的首项，再乘回除式，并减去整个乘积。

1. 第一轮先除首项：$x^3\div x=x^2$。乘回除式得到 $x^2(x-2)=x^3-2x^2$；相减后剩下 $(x^3-3x^2+4x+5)-(x^3-2x^2)=-x^2+4x+5$。
2. 第二轮有 $(-x^2)\div x=-x$。乘回得到 $(-x)(x-2)=-x^2+2x$；减去整个括号：$(-x^2+4x+5)-(-x^2+2x)=2x+5$。减去负数时要改变符号。
3. 第三轮有 $2x\div x=2$。乘回得到 $2(x-2)=2x-4$，所以剩下 $(2x+5)-(2x-4)=9$。
4. 剩余部分是常数，次数低于一次除式，可以停止。商式是 $Q(x)=x^2-x+2$，余式是 9。最后一轮减去负 4，应当变成加 4，不能算成 1。

图左对应上面的三轮运算，右侧说明为什么可以跳过求商式。乘回检验：$(x-2)(x^2-x+2)=x^3-3x^2+4x-4$，再加 9 就还原了被除式。如果只求余式，直接代入 $x=2$，答案同样是 9：

除式带加号或首项系数不是1怎么办？

一次除式的通用方法：除式为 $ax-b\quad(a\ne0)$ 时，先解 $ax-b=0$，得到 $x=\frac{b}{a}$。余式为 $f\!\left(\frac{b}{a}\right)$。代入的是使整个除式为 0 的值，不能直接抄除式的常数项（constant term）。

1. 同一个被除式改除以 $x+2$：由 $x+2=0$ 得到 $x=-2$。余式是 $f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+4(-2)+5=-8-12-8+5=-23$。代入负数时加上括号，注意平方和立方的符号不同。
2. 若除式改为 $2x-4$，使它为 0 的值仍是 $x=2$，余式仍为 $f(2)=9$。不要把余式再除以 2。

因为我们已经有 $f(x)=(2x-4)\frac{x^2-x+2}{2}+9$。除式乘了 2，商式便除以 2，余式 9 保持不变。先解「除式等于 0」，就能统一处理带加号和首项带系数的情况。

用已知余式求未知系数

余式也可以反过来帮助我们求未知系数（unknown coefficient）。例如 $g(x)=x^3+kx^2-2x+1$ 除以 $x-1$ 的余式为 4，求 $k$。把余式条件写成方程，就不需要猜测商式。

1. 求代入值：$x-1=0\Rightarrow x=1$，因此条件等价于 $g(1)=4$。
2. 逐项代入被除式：$1^3+k(1)^2-2(1)+1=4$。合并常数后，得到答案 $k=4$。
3. 把系数放回原式检验：$g(1)=1+4-2+1=4$，符合题目给出的余式。

最后注意适用范围。只有除以 $x$ 时才代入 0，直接取常数项；其他一次除式要先求代入值。若除式是二次式，余式可能含有一次项，不能照搬「一次代入就能求出余式」的结论。下一篇介绍因式定理（factor theorem）及其应用：余式为 0 时，怎样由整除找到因式。

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