上一篇我哋用餘式定理（remainder theorem），代一個值就搵到多項式（polynomial）除法嘅餘式。今次接住問：如果餘式啱啱係 0，代表咩？代表除得盡，原本嘅多項式可以寫成除式乘商式，唔使再加任何嘢。呢個就係用代入搵因式嘅起點，亦係將三次式拆成一次式同二次式嘅橋樑。
餘式係 0，點解就有因式？
因式定理（factor theorem）：x−a 係多項式 f(x) 嘅因式（factor），就代表 f(a)=0；反過嚟都一樣。1. 代入得到 0，就證明呢個一次式係因式。2. 已知呢個一次式係因式，就知道代入一定得到 0；兩個方向都用得。
f(x)=(x−a)Q(x)+r,r=f(a) 上面就係上一篇嘅除法恒等式（identity）。如果 f(a)=0，餘式嗰項消失，就剩返 f(x)=(x−a)Q(x)；反過嚟，如果一開始已經寫到呢個乘積，代 x=a 就一定得到 0。留意：代入只係證明有呢個因式，仲未幫你搵到商式 Q(x)。
根（root）：令方程 f(x)=0 成立嘅數值。如果 f(a)=0，根就係 a，對應嘅因式就係 x−a。根係一個數；因式係一個式，兩樣嘢唔好寫亂。
搵到一個因式之後，點樣拆晒成條式？
我哋要將 f(x)=x3−2x2−5x+6 因式分解（factorisation）。先試簡單整數：呢條式嘅係數都係整數，而且首項係數係 1，所以如果佢有整數根，嗰個根一定係常數項（constant term）6 嘅正或負因數，即係 ±1,±2,±3,±6。呢張係候選名單，唔代表每個數都係根，亦唔保證所有多項式都有整數根。
- 先試負 1，記得成個負數放入括號：f(−1)=(−1)3−2(−1)2−5(−1)+6=−1−2+5+6=8。結果唔係 0，所以 x+1 唔係因式。
- 再試正 1：f(1)=13−2(1)2−5(1)+6=1−2−5+6=0。所以 x−1 係因式；我哋已經搵到一個，可以轉去求商式。
而家用長除法（long division）除以 x−1。每輪都係先除首項、乘返除式，再減走成個乘積。今次最容易錯嘅位係第二輪：減去負數會變成加，唔好淨係改括號入面第一項嘅符號。
- 第一輪：x3÷x=x2。乘返係 x2(x−1)=x3−x2；減完得到 (x3−2x2−5x+6)−(x3−x2)=−x2−5x+6。
- 第二輪：(−x2)÷x=−x。乘返係 (−x)(x−1)=−x2+x；減完得到 (−x2−5x+6)−(−x2+x)=−6x+6。
- 第三輪：(−6x)÷x=−6。乘返係 −6(x−1)=−6x+6；減完得到 (−6x+6)−(−6x+6)=0。所以商式係 x2−x−6，餘式係 0。
圖入面同次數嘅項排埋同一欄，三條減線對應頭先三輪運算。最尾冇嘢剩，代表我哋搵到嘅係完整乘積，唔係近似結果。將除式同商式乘返，可以驗算有冇抄錯符號：
(x−1)(x2−x−6)=x3−x2−6x−x2+x+6=x3−2x2−5x+6 不過題目要因式分解，仲未做完：商式係二次式，可以用之前學過嘅十字相乘。要搵兩個數，乘積係 −6，加埋係 −1；佢哋就係 −3 同 2，所以完整答案係：
f(x)=(x−1)(x2−x−6)=(x−1)(x−3)(x+2) 如果題目再問解 f(x)=0，先將每個因式分別設成 0，得到 x=1, 3, −2。乘積等於 0，就至少有一個因式係 0；唔係要求三個因式同時等於 0。你亦可以將三個數逐個代返原式，分別得到 f(1)=0, f(3)=27−18−15+6=0, f(−2)=−8−8+10+6=0。
已知因式，點樣搵未知係數？
再睇一個應用：g(x)=2x3+kx2−5x+2，已知 2x−1 係因式，求未知係數（unknown coefficient）k。今次唔使長除法，因為我哋要用嘅資料淨係「餘式係 0」。先令成個一次因式等於 0，唔好見到負 1 就直接代 1。
- 先解 2x−1=0⇒x=21，所以條件就係 g(21)=0。
- 將每項都代入：2(21)3+k(21)2−5(21)+2=0。
- 先計次方再合併常數：41+4k−25+2=0⇒4k−41=0。
- 兩邊同時乘以 4，得到 k−1=0⇒k=1，呢個就係答案。
代返驗算：g(21)=41+41−25+2=0，符合因式條件。重點係先搵令因式變成 0 嘅值，再代入成個原式；因式前面有係數，都係同一套做法。
最後分清楚：餘式唔係 0，嗰個除式就唔係因式；搵到一個因式之後，仲要睇商式可唔可以再拆。下一篇我哋會用拆好嘅因式，搵多項式嘅最高公因式（HCF）同最低公倍式（LCM），比較幾條式有邊啲共同部分。
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