上一篇的余式定理（remainder theorem）让我们通过代入，直接求出多项式（polynomial）除法的余式。这次研究余式恰好为 0 的情况。除法没有剩余部分，被除式就能写成除式与商式的乘积。这个联系让我们能够先用代入确认一个因式，再把较复杂的三次多项式转化为熟悉的二次式。
余式为零与因式有什么关系？
因式定理（factor theorem）：对于多项式 f(x)，x−a 是它的因式（factor），当且仅当 f(a)=0。1. 代入结果为 0，可以确认这个一次式是因式。2. 已知这个一次式是因式，就能确定相应的代入结果为 0。这两个方向都可以使用。
f(x)=(x−a)Q(x)+r,r=f(a) 这就是上一篇的除法恒等式（identity）。当 f(a)=0 时，余式项消失，得到 f(x)=(x−a)Q(x)。反过来，如果已经有这个乘积，代入 x=a 就必然得到 0。注意，代入只确认了一个因式，还没有求出商式 Q(x)。
根（root）：使方程 f(x)=0 成立的数值。若 f(a)=0，则根是 a，相应的因式是 x−a。根是一个数，因式是一个代数式，作答时要区分。
从一个因式到完整的因式分解
将 f(x)=x3−2x2−5x+6 因式分解（factorisation）。先寻找简单的整数根。这个多项式的系数都是整数，首项系数为 1，因此它的整数根只可能是常数项（constant term）6 的正、负因数：±1,±2,±3,±6。这只是候选范围，必须代入确认；并非每个候选数都是根，也并非每个多项式都有整数根。
- 先试负 1，代入负数时加上括号：f(−1)=(−1)3−2(−1)2−5(−1)+6=−1−2+5+6=8。结果不为 0，所以 x+1 不是因式。
- 再试正 1：f(1)=13−2(1)2−5(1)+6=1−2−5+6=0。所以 x−1 是因式，可以开始求商式。
用长除法（long division）将原式除以 x−1。每轮先用首项相除，再乘回除式，最后减去整个乘积。第二轮尤其要注意：括号前的减号影响括号内每一项，不能只改变第一项的符号。
- 第一轮：x3÷x=x2。乘回得到 x2(x−1)=x3−x2；相减得到 (x3−2x2−5x+6)−(x3−x2)=−x2−5x+6。
- 第二轮：(−x2)÷x=−x。乘回得到 (−x)(x−1)=−x2+x；相减得到 (−x2−5x+6)−(−x2+x)=−6x+6。
- 第三轮：(−6x)÷x=−6。乘回得到 −6(x−1)=−6x+6；相减得到 (−6x+6)−(−6x+6)=0。因此，商式为 x2−x−6，余式为 0。
图中同次数的项上下对齐，三条减线对应三轮运算。最后的 0 表示没有剩余部分，所以得到的是精确的乘积。将除式与商式乘回去，检验符号和系数：
(x−1)(x2−x−6)=x3−x2−6x−x2+x+6=x3−2x2−5x+6 因式分解还没有结束，因为二次商式仍然可以分解。使用之前学过的十字相乘法，寻找乘积为 −6、和为 −1 的两个数，得到 −3 和 2。因此完整答案为：
f(x)=(x−1)(x2−x−6)=(x−1)(x−3)(x+2) 若还要求解 f(x)=0，分别令每个因式等于 0，得到 x=1, 3, −2。乘积为 0 表示至少一个因式为 0，不要求三个因式同时为 0。代回原式检验：f(1)=0, f(3)=27−18−15+6=0, f(−2)=−8−8+10+6=0。
利用已知因式求未知系数
设 g(x)=2x3+kx2−5x+2，已知 2x−1 是它的因式，求未知系数（unknown coefficient）k。这里不需要求商式，只需要把「余式为 0」写成方程。先求使整个一次因式为 0 的数，不能看到常数项是负 1 就代入 1。
- 先解 2x−1=0⇒x=21，因此条件是 g(21)=0。
- 代入原多项式的每一项：2(21)3+k(21)2−5(21)+2=0。
- 先计算乘方，再合并常数：41+4k−25+2=0⇒4k−41=0。
- 两边同时乘以 4：k−1=0⇒k=1，得到所求系数。
将系数代回检验：g(21)=41+41−25+2=0，符合因式条件。一次因式的首项系数不是 1 时，仍然先求使因式为 0 的数，再代入整个原式。
最后记住，非零余式说明除式不是因式；找到一个因式后，还要检查商式能否继续分解。下一篇会利用分解后的因式，求多项式的最大公因式（HCF）与最小公倍式（LCM），辨认几个多项式之间的共同部分。
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