上一篇用一元一次方程（linear equation in one unknown）解决了购票问题，并说明等式两边为什么要进行相同运算。现在有两个未知数，一个条件通常不足以确定答案。我们先理解“同时满足”的含义，再学习用代入消元（substitution）与加减消元（elimination），把两个未知数减少为一个。
二元一次方程组（simultaneous linear equations）：由含有两个未知数的一次方程组成，要求各方程同时成立。解（solution）是一组未知数的值，可以写成有序数对 ；将同一组值代入后，每个方程的左右两边都必须相等。
例题一：解下面的方程组。对于第一个方程， 和 都符合条件，因为两数之和都是 7。但是第二个方程还要求两份 加一份 等于 11。方程组的解必须同时满足这两个要求。
图解：每条直线上的点都满足对应的方程，图中只展示第一象限的部分。紫色交点 同时位于两条直线上，所以是方程组的解。图形说明了求解的目标，下面用代数计算得到精确数值，而不是通过测量图形读数。
代入消元：用一个式子替换未知数
代入消元法（substitution）：1. 从一个方程中，用含另一个未知数的式子表示某个未知数。2. 把这个式子代入另一个方程，替换同一个未知数。3. 解出一个未知数，再代回求另一个，最后用两个原方程检验。
- 方程 (1) 两边同时减去 ，得到 ，保留原来的等量关系。
- 将方程 (2) 中的 整体替换，并加上括号：。
- 用 2 乘括号内的每一项：。第二项的负号不能漏掉。
- 合并同类项（like terms），得到只含一个未知数的方程：。
- 两边同时减去 14：，此时还没有完全求出未知数。
- 两边同时除以 ：。两边的负号都随之消去。
- 代回之前的关系式：，得到另一个未知数。
答案是 。将同一组值代入两个原方程，下面两个等式都成立。只检验第一个方程不够：开头的 也满足第一个方程，却不满足第二个。
加减消元：先把系数配好
加减消元法（elimination）：1. 将两个方程中同一个未知数的系数配成相同的数或互为相反数。2. 两式相减或相加，使这个未知数抵消。3. 保留一个原方程，与新方程结合求出两个未知数。乘倍数时，等号两边的每一项都要乘。
例题二：下面两个方程中，没有可以直接分离出来的单个未知数。直接代入会产生分数，因此选择加减消元，先把系数配好，可以减少计算。
选择消去 。它在两个方程中的系数是 2 和 3，最小公倍数（lowest common multiple）是 6。因此，将方程 (3) 两边乘以 3，方程 (4) 两边乘以 2。常数项也要乘，得到以下两个等式。
图解：上排减去下排，灰色虚线框中的 和四份 抵消，只剩五份紫色的 。右边的总值也必须相减。方块按最终答案的值成比例绘制，帮助理解消元过程；实际求解依据仍是方程，不是方块的宽度。
- 上式减下式，用括号括住整个被减的式子：。
- 去掉第二个括号，每一项都改变符号：。最后一项也要变号。
- 合并同类项，得到 ；两边同时除以 5，得到 。
- 代回原方程 (3)：，即 。
- 两边同时减去 9：；再同时除以 2，得到 。
第二题的答案是 。用原方程 (3) 和 (4) 检验。不能只用相减后的方程，因为其中已经没有 ，无法检查这个未知数是否算对。
- 某个未知数的系数是 1 或负 1 时，代入通常比较方便。如果分离未知数需要引入分数，可以考虑加减消元。两种方法都正确，优先选择分数少、步骤少的方法。
- 消元前先看符号：同号且系数相同就相减，例如 ；系数互为相反数就相加，例如 。不能固定使用减法。
两个方程不一定只有一组解。例如 与 表达相同的条件，两条直线重合，有无穷多组解。如果第二个方程改为 ，用第二个方程减去第一个方程的两倍，就得到矛盾的等式 ，两条直线平行，方程组无解。未知数全部消去时，应判断剩下的等式是否成立。
下一篇学习二元一次方程组应用题：从数量、价格等文字条件中设两个未知数，建立两个等量关系，选择合适的方法求解，再用实际数量和单位回答问题。
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